Prüfen, für welche Werte das lineare Gleichungssystem in x1, ..., x4 über R lösbar ist

Question

Prüfen Sie, für welche Werte von \( a \in \mathbb{R} \) das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten \( x_{1}, \ldots, x_{4} \) über \( \mathrm{R} \) lösbar ist und bestimmen Sie gegebenfalls alle Lösungen.

\( \begin{aligned} x_{1}+a x_{2}+7 x_{3}+6 x_{4} &=3 a \\ -4 x_{2}+10 a x_{4} &=-2 \\ a x_{1}+(2+4 a) x_{2}+33 x_{3}+39 x_{4} &=12 a+1 \\ x_{1}+a x_{2}+(6-a) x_{3}+6 x_{4} &=4 a \end{aligned} \)

Answer 1

[1, a, 7, 6, 3·a]
[0, -4, 0, 10·a, -2]
[a, 2 + 4·a, 33, 39, 12·a + 1]
[1, a, 6 - a, 6, 4·a]

a*I - III, I - IV

[0, -4, 0, 10·a, -2]
[0, a^2 - 4·a - 2, 7·a - 33, 6·a - 39, 3·a^2 - 12·a - 1]
[0, 0, a + 1, 0, -a]

(a^2 - 4·a - 2)*I + 4*II

[0, 0, 4·(7·a - 33), 2·(5·a^3 - 20·a^2 + 2·a - 78), 10·a·(a - 4)]
[0, 0, a + 1, 0, -a]

Jetzt rückwärts auflösen

(a + 1)·x3 = -a
x3 = - a/(a + 1)

Hier sieht man schon das a nicht -1 sein darf

4·(7·a - 33)·(-a)/(a + 1) + 2·(5·a^3 - 20·a^2 + 2·a - 78)·x4 = 10·a·(a - 4)
x4 = a·(5·a^2 - a - 86)/((a + 1)·(5·a^3 - 20·a^2 + 2·a - 78))

a dürfte hier auch nicht 4.638745564 werden.

- 4·x2 + 10·a·a·(5·a^2 - a - 86)/((a + 1)·(5·a^3 - 20·a^2 + 2·a - 78)) = -2
x2 = 5·(7·a^3 - 34·a^2 + 38·a + 39)/((a + 1)·(5·a^3 - 20·a^2 + 2·a - 78)) + 3

x1 + a·(5·(7·a^3 - 34·a^2 + 38·a + 39)/((a + 1)·(5·a^3 - 20·a^2 + 2·a - 78)) + 3) + 7·(-a)/(a + 1) + 6·a·(5·a^2 - a - 86)/((a + 1)·(5·a^3 - 20·a^2 + 2·a - 78)) = 3·a
x1 = - 5·a·(34·a + 45)/((a + 1)·(5·a^3 - 20·a^2 + 2·a - 78))

Hier nach darf a nicht -1 und nicht 4.638745564 sein.

Die Lösungen sind dann

x1 = - 5·a·(34·a + 45)/((a + 1)·(5·a^3 - 20·a^2 + 2·a - 78))
x2 = 5·(7·a^3 - 34·a^2 + 38·a + 39)/((a + 1)·(5·a^3 - 20·a^2 + 2·a - 78)) + 3
x3 = - a/(a + 1)
x4 = a·(5·a^2 - a - 86)/((a + 1)·(5·a^3 - 20·a^2 + 2·a - 78))