Tangentenpunkt bei e-Funktion. f (x)=e^{x-3} -2

Question

Hey und brauche mal eure Hilfe da ich bei einer Aufgabe nicht weiter komme :/

K ist der Graph der Funktion f mit f (x)=e^{x-3} -2. Die Tangente an K an der Stelle x=3 schneidet die Asymptote von K in S. Bestimme die Koordinaten von S ( ohne Taschenrechner).

Answer 1

Hi,

f'(x) = e^{x-3}

--> f'(3) = e^{3-3} = e^0 = 1

Folglich hat die Tangente die Steigung 1. An der Stelle 3 liegt der Funktionswert f(3) = e^{3-3} - 2 = 1-2 = -1 vor.

--> t(x): y = 1*x + b

b bestimmen mittels einsetzen des Berührpunktes:

-1 = 1*3 + b

-4 = b

--> t(x) = x - 4

Schnittpunkt S bestimmen, dabei die Asymptote als y = -2 erkennen.

x - 4 = -2   |+4

x = 2

Der Schnittpunkt liegt bei S(2|-2).

Grüße

Comments

Ah ok vielen Dank, den ersten Teil habe ich verstanden, die Asymptope -2 kommt von der Anfangsfunktion oder?

---

So ist es. Du schaust Dir an, was für -unendlich bzw. plus unendlich passiert.

Für ersteres erkennst Du, dass der Wert nie kleiner -2 wird. Man nähert sich nur an -> Asymptote (die e-Funktion geht ja gegen 0). Für letzteres kann man nicht viel sagen -> wird immer größer^^.

---

Ok habe verstanden vielen Dank und noch einen schönen Abend :)

---

Freut mich und gleichfalls ;).

Answer 2

Die Exponentialfunktion hat als Asymptote die Funktion a(x) = 0. Das folgt aus den Potenzgesetzen.

Die Funktion f(x) = e^x-3 -2 entsteht indem die Exponentialfunktion um 3 nach rechts und 2 nach unten verschoben wird (siehe Funktionstransformationen). Natrürlich verschiebt sich dann auch die Asymptote um 3 nach rechts und 2 nach unten. Neue Asmyptote ist also a₂(x) = -2.

Gleichung der Tangente ist t(x) = mx + n, weil es eine lineare Funktion ist.

Es ist m = f'(3), weil die Tangete die Steigung von f an der Stelle x=3 hat.

Ferner ist f(3) = t(3), weil Tangente und Funktion bei x=3 einen gemeinsamen Punkt haben.

Das führt zu der Gleichung f(3) = f'(3)·3 + n. Löse nach n auf, dann hast du alle Werte für die Tangete beisammen.

Löse jeetzt die Gleichung a₂(x)=t(x) um die x-Koordinate des Schnittpunktes von Tangente und Asymptote zu bestimmen. Setze in die Tangente ein um die y-Koordinate des Schnittpunktes von Tangente und Asymptote zu bestimmen.