U={(x1,x2,x3,x4)T x1=x3,x2=ax4}
W={(x1,x2,x3,x4)T:x=s*(1,1,0,1)} s und a sind beides ∈ℝ
Zunächst sollte ich die Dimension und die Basis der Beiden Unterräume bestimmen. Das ging noch ganz gut. Als nächstes sollte ich eine Basis und Dimension für U+W finden.
Wenn du deine beiden Basen zusammen nimmst, hast du ein Erzeugendensystem
für U+W. (Das ist immer so.) Dann hast du vermutlich drei Vektoren da stehen, die erzeugen
U+W. Wenn sie lin. unabhängig sind, dann ist es eben ein lin. unabh. Erzeugendensystem,
und das ist eben eine Basis. Und ob die drei lin. unabh. sind, prüfst du ganz normal
mit dem Ansatz a*v1 + b*v2 + c*v3 = 0-Vektor
und das gibt ein Gleichungssystem und die Vektoren sind
lin. unabh. wenn es NUR die Lösung a=b=c=0 gibt.
Als Lösung ist gegeben das die Basen von U,W linear unabhängig sind und daher U+W dreidimensional ist.
Ich verstehe diese Lösung allerdings nicht ganz.
1.Wie zeige ich das die Basen linear unabhängig sind und (s.o.)
2.warum ist deshalb die Dim U+W=3? weil die Basis aus drei Vektoren besteht
Zum Schluss soll ich noch U∩W berechnen und die Dimension bestimmen.
Da weiß ich allerdings nicht wie ich die Sache angehen soll.
Du nimmst einfach die definierenden Bedingungen von U und W zusammen:
x1=x3 und x2=ax4 und x=s*(1,1,0,1) = ( s , s , 0 , s )
und da siehst du schon: Die erste und 3. Bedingung gelten gleichzeitig
nur, wenn s=0 ist, also nur für den 0-Vektor. Das ist also das einzige
Element von U∩W, eine Basis ist also die leere Familie von Vektoren aus V
und damit dim ( U∩W) = 0.
