Bestimmen Sie alle differenzierbaren Funktionen, für die der Mittelwert auf jedem Intervall [0,x] ...

Question

Bestimmen Sie alle differenzierbaren Funktionen y : [0,∞) → (0,∞), für die der Mittelwert auf jedem Intervall [0, x] mit y(x) übereinstimmt. 

Comments

Schreib dir erstmal auf, was der Mittelwert von \(y\) auf dem Intervall \([0,x]\) ist.

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Integration von f(x)

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Du darfst ruhig mehr als nur eine Wortgruppe hinknallen, die ganz nebenbei auch nichts mit der Aufgabe zu tun hat (was ist \(f\)?)?

Z.B. könntest du einen konkreten Term aufschreiben.

Answer 1

Ich denk mal so:   Wenn y(t) die Funktion ist, dann ist

Mittelwert   =1/ ( x-0) * Integral von 0 bis x  über   y dt   und das soll gleich y(x) sein.

Wenn also  Y eine Stammfunktion ist, dann

y(x)  =   1/ x   (  Y(x) - Y (0) ) Und dann ist Y eine Lösung der DGL

 x * Y ' (x)  =    Y(x) -  k   mit einer Konstanten k.  ( Die dann eben Y(0) ist).

Das sollte doch klappen!

Comments

Etwas anderer Weg: Die Gleichung \(y(x)=\frac1x ...\) nach \(x\) differenzieren.