exponentielle Kurvenschar wie funktionierte das noch einmal?

Question

Das Thema ist leider ziemlich lange her und ich hab vergessen wie ich überhaupt anfangen muss. Diese Thematik ist mir damals schon schwer gefallen :(




Gegeben ist die Funktion : f(x) = (t-x)* e^x

Die Gerade x=u mit u<0 schneidet den Graphen von f(1) im Punkt Q und den Graphen f(2) im Punkt P. Es ist zu ermitteln, für welchen Wert von t das Dreieck OPQ einen maximalen Flächeninhalt besitzt.
Die andern zwei möchte ich gerne alleine machen, aber ich brauche einfach einen Anfang :(

Comments

Folgende Gedanken dazu: Ich muss erst mal ableite f ' (x) = (-x+t-1)*e^x und f ' '(x) = (-x+t-2)*e^x und damit es maximal wird muss f ' ' < 0 sein..soweit noch richtig?

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Du meinst x=0 schneidet den Graphen der Funktion im Punkt Q ( 1 | f_t(1) ) und im Punkt P ( 2 | f_t(2) )?

Falls ja,
dann musst Du hier erst einmal die Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks aufstellen und für diese dann eine Extremwertberechnung machen. Diese Funktion müsste dann aber in Abhängigkeit von t sein und damit auch nach t differenziert werden.

Gruss

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Also Flächeninhalt eines Dreieckes ist meines Wissens nach A= 0,5 * a * h

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Kann es sein, dass ich erst die Stammfunktion bilden muss und diese dann ableite?

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Höchstwahrscheinlich hast Du Recht Nadine.

Am einfachsten ist es die Punkte zu bestimmen und dann Geradengleichungen für alle 3 Seiten zu bestimmen. für x=0 bis x=1 bildest Du dann das Integral für Gerade O nach P - Gerade O nach Q und für x=1 bis x=2 das Integral für Gerade P nach Q - Gerade O nach Q.

Beispielskizze t=3
hier  Betrag( Integral 0 bis 1 von rot -grün ) + Betrag ( Integral 1 bis 2 von pink - grün)

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f₁(x) = (3-x)·e^xf₂(x) = 2·e·xf₃(x) = 0,5·e²·xf₄(x) = (e²-2·e)x+3,5Zoom: x(-6…6) y(-0,5…7,5)

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Ich hoffe, das ist nicht zu kompliziert erklärt.

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Ich beiß mich da morgen noch mal durch, denn ich verstehe momentan Bahnhof.

Ich komm immer mit diesen Scharen nicht klar, egal ob jetzt in der Analysis oder in der analytischen Geometrie aber ich muss es für das Abi verstehen :(

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Es wäre günstig einfach mal die Aufgabenstellung im Original zur Verfügung zu stellen.

Ansonsten habe ich die Befürchtung das unsere Ideen hier am Ende eventuell alle verkehrt sein könnten.

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Die Fragestellung ist 1 zu 1 vollständig abgetippt

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Das ist das komplette Blatt allerdings bitte nicht auf Aufgabe 2 und 3 eingehen, die möchte ich alleine machen, wenn ich endlich verstehe wie ich anfangen muss.

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Danke für das Posten der Aufgabenstellung. Du sprichst oben von f(1) und f(2). Gemeint ist aber f₁(x) und f₂(x). Das ist ein großer Unterschied. Da hat der Mathecoach uns einen großen Gefallen getan, noch einmal nach der Aufgabenstellung zu fragen.

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Zusätzlich habe ich aber auch nicht alle Infos aus Deiner Aufgabenstellung berücksichtigt. *UnauffälligPfeif* Also vergiss was ich geschrieben habe.

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Sorry normal wenn sie f1(x) meint, dann schreibt sie das für gewöhnlich auch :(

Danke übrigens das ihr so fleißig helft :)

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Es ist völlig normal von f1 zu sprechen wenn f1(x) gemeint ist. Im Gegenteil. Wenn sie f(1) gemeint hätte, hätte sie es so geschrieben. Trotzdem hat die Lehrerin einen großen Fehler gemacht, wenn sie nach dem t fragt. t ist hier nämlich keine unbekannte sondern hat die Werte 1 und 2. Es ist also nach dem u gefragt.

Denn das u ist die einzige nicht bekannte Größe hier.

Ich hatte mir sowas schon gedacht und hatte deswegen nochmal wegen der Aufgabenstellung nachgefragt.

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Ich schau mir das morgen noch mal in Ruhe an, hab heute nichts anderes gemacht als Mathe.

Aber vielen lieben Dank für die Hilfe..Ich stell demnächst bestimmt mehr

Answer 1

Die Aufgabenstellung ist sehr fragwürdig. Wenn von den Funktionen f1 und f2 die Rede ist ist t bekannt und damit nicht gefragt. Damit ist eigentlich das u gefragt für den der Flächeninhalt maximal wird.

A = 1/2·(e^x·(2 - x) - e^x·(1 - x))·x

A = 1/2·x·e^x

A' = 1/2·e^x·(x + 1) = 0 --> x = - 1

Das u müsste hier also -1 sein.

Answer 2

Ich hatte mich auch mit der Frage beschäftigt war aber nicht weit gekommen.
In der Fragestellung war also ein Fehler.
Es muß heißen.

f1 ( x ) = ( 1-x)* e^x
f2 ( x ) = ( 2-x)* e^x

u < 0

So ergibt das Ganze erst einen Sinn.
Hier einmal eine Skizze mit angenommenen u = -1

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f₁(x) = (1-x)·e^xf₂(x) = (2-x)·e^xx = -1

Die Grundseite des Dreiecks wird gebildet durch den Abstand der Schnittpunkte
f2(u) - f1(u)
Die Höhe ist der Abstand der Geraden zur y-Achse : h = u
A ( u ) = 1/2 * ( f2(u) - f1(u) ) * u
A ( u ) =  1/2 * ( ( 2-u ) * e^u - ( 1-u )* e^u ) * u
A ( u ) = 1/2 * u * ( 2 - u - 1 + u ) * eû
A ( u ) = 1/2 * u * e^u

1.Ableitung
A ´( u ) = e^u * ( 1 + u ) / 2

Extremwert
e^u * ( 1 + u ) / 2 = 0
( 1 + u ) / 2 = 0
u = -1