ich fasse zusammen:
\[ \binom{3k}{k} \cdot \frac{k^2}{2^k}=\frac{(3k)!\cdot k^2}{k!\cdot (2k)! \cdot 2^k} \]
1.Schritt
\[ \lim_{k \to \infty} \frac{(3k+1)!\cdot (k+1)^2}{(k+1)!\cdot (2k+1)! \cdot 2^{k+1}} \cdot \frac{k!\cdot (2k)! \cdot 2^k}{(3k)!\cdot k^2} \]
Falls ich mich nicht irre hast Du hier schon den Fehler gemacht. Du hast nicht korrekt k+1 für k eingesetzt.. Ebenso hast Du - wie ich zuerst auch - die Klammern bei \( (3k)! \) etc. vergessen.
Richtig wäre:
\[ \lim_{k \to \infty} \frac{(3(k+1))!\cdot (k+1)^2}{(k+1)!\cdot (2(k+1))! \cdot 2^{k+1}} \cdot \frac{k!\cdot (2k)! \cdot 2^k}{(3k)!\cdot k^2} \]
\[ = \lim_{k \to \infty} \frac{(3k+3)!\cdot (k+1)^2}{(k+1)!\cdot (2k+2)! \cdot 2^{k+1}} \cdot \frac{k!\cdot (2k)! \cdot 2^k}{(3k)!\cdot k^2} \]
\[ = \lim_{k \to \infty} \frac{(3k+3)\cdot (3k+2)\cdot (3k+1) \cdot (k+1)}{k!\cdot (2k+2) \cdot (2k+1) \cdot 2} \cdot \frac{k!}{k^2} \]
\[ = \lim_{k \to \infty} \frac{(3k+3)\cdot (3k+2)\cdot (3k+1) \cdot (k+1)}{(2k+2) \cdot (2k+1) \cdot 2k^2} \]
\[ = \lim_{k \to \infty} \frac{27k^4+ ...}{8k^4+ ...} \]
Das würde jetzt auch für Divergenz sprechen. Bitte trotzdem nachrechnen. :-)
Gruß
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