Konvergenz Reihe mit Binomialkoeffizient

Question

Hallo,

also es geht mir um folgende Aufgabe : \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} 2k\\k \end{pmatrix}}*2^{-3k-1} \) . Die soll ich auf Konvergenz untersuchen, aber ich komme auf diesen Binomialkoeffizienten nicht klar. Mir ist klar, dass ich das Quotienenkriterium hierfür brauche und ich weiß auch wie das anzuwenden ist, aber wie gesagt das bringt mir nichts, da ich mit den Binomialkoeffizienten nicht umgehen kann.

Kann mir wer, das bitte erklären und zeigen. Hätte zwar nen Ansatz aber glaube nicht, dass dieser zu gebrauchen ist. Wäre sehr dankbar über jegliche Hilfe

Mfg

Comments

Stell den Quotienten auf und setze

$$ \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} = \frac{n!}{m! (n-m)! } $$

ein. Es gilt:

$$ \frac{(2k+2)!}{(2k)!} = (2k+2)(2k+1) $$

$$ \frac{k! \cdot k!}{(k+1)!\cdot(k+1)!} = \frac{1}{(k+1)^2} $$

Answer 1

\(\begin{pmatrix} 2k\\k \end{pmatrix}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots (2k-1)\cdot 2k}{(1\cdot 2\cdot 3\cdots\cdot (k-1)\cdot k)(1\cdot 2\cdot 3\cdots\cdot (k-1)\cdot k)}\)

\(\begin{pmatrix} 2(k+1)\\k+1 \end{pmatrix}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots (2k-1)\cdot 2k\cdot(2k+1)\cdot(2k+2)}{(1\cdot 2\cdot 3\cdots\cdot (k-1)\cdot k\cdot(k+1))(1\cdot 2\cdot 3\cdots\cdot (k-1)\cdot k \cdot(k+1))}\)

Jetzt darfst du Quotienten bilden, fast alles kürzt sich weg. (Vergiss aber nicht die Zweierpotenzen).

Comments

Sollte dann gekürzt \( 2^{-3} \) * \( \frac{(2k +1) *(2k+2)}{(k +1) * (k +1)} \) sein oder?

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und da kann man dann noch die 2 kürzen sowie (k +1) oder

Also wäre jetzt bei Endergebnis \( \frac{1}{4} \) \( \frac{(2k+1)}{(k+1)} \)