Basis zu Untervektorraum finden und Basis zeigen

Question

Der Untervektorraum des ℝ³ ist folgendermaßen definiert:

U = {(x,y,z)^t ∈ℝ³  | y=z)}

Die Basis müsste so aussehen:

<{0,1,1}^t , {1,0,0}^t >

Wie zeige ich nun formal, dass dies die Basis des Untervektorraums U ist.

Ich vermute, folgende 2 Punkte müssen gezeigt werden.

(1) Sie erzeugt diesen Untervektorraum

(2) Die Vektoren sind linear unabhängig

Reichen diese 2 Punkte? Wenn ja, wie zeige ich (1) ?

Dank im Voraus

Answer 1

ja, das musst du prüfen. (lineare Unabhängigt sieht man sofort, da keiner der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist)

Seien r,s ∈ℝ 

Der von deinen Vektoren aufgespannte Unterraum ("lineare Hülle") ist

r • [0, 1, 1]^T + s • [1, 0, 0]^T =  [ s, r, r ]^T  , das ist genau der Unterraum  mit y = z  ( und x beliebig)

Du musst allerdings noch prüfen, ob der Nullvektor im UR liegt und ob mit  \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) auch  \(\vec{a}\)+\(\vec{b}\) im UR liegt.  (ergibt sich natürlich aus y=z sofort, beides ist der Fall)

[ Im ℝ³ sind übrigens die zweidimensionalen Unterräume genau die Ebenen durch den Nullpunkt mit einer Koordinatengleichung der Form  ax + by + cz = 0. Die eindimensionalen Unterräume sind die Geraden durch den Nullpunkt ]

Gruß Wolfgang

Comments

Entschuldigung, dass ich so spät antworte.

Also reicht es, um (1) nachzuweisen r • [0, 1, 1]^T + s • [1, 0, 0]^T =  [ s, r, r ]^T  zu notieren.

Danke, ansonsten

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ja, das reicht