Basis zu Untervektorräumen angeben und Basis zu Schnitt angeben

Question

Wir haben 2 Untervektorräume des R⁴

U = {(x1,x2,x3,x4)^t ∈ℝ| x1+2x2 = x3 + 2x4}

V = {(x1,x2,x3,x4)^t ∈ℝ| x1 = x2 + x3 + x4}

Ich soll Basen zu diesen Vektorräumen angeben

U = <((1,2,1,2), (5,0,1,2), (4,1,0,3), (1,2,5,0)> Alle Vektoren transponiert (Also 1 ganz oben, 2 ganz unten beim ersten Vektor

V = <(3,1,1,1), (4,0,2,2), (4,2,0,2), (4,0,2,2)> Vektoren wie oben transponiert

(1) Stimmen diese Basen?

(2) Ich soll jetzt eine Basis für U ∩ V angeben. Laut Dimensionsformel müsste die Basis 4 Vektoren haben.

Wie komme ich auf die Basis? Soll ich die Gleichungen oben gleichsetzen?

Dank im Voraus

Answer 1

Hallo PoNR,

(1) Nein, denn da schwirren zu viele Vektoren rum. Die Vektoren, die die Basis eines Raums ausmachen müssen linear unabhängig sein.

(2) Nicht wirklich, das würde nur gehen, wenn U und V dem \(\mathbb{R}^4\) entsprechen würden, was sie aber sicherlich nicht tun. Gleichungen gleichzusetzen klingt irgendwie nicht gut. \(U \cap V\) wird durch beide Gleichungen beschrieben, d.h. seine Vektoren müssen beide Gleichungen erfüllen.

Gruß

Comments

Wie sollte ich vorgehen, um eine Basis zu finden?

Bzw. kannst du mir eine Basis für U nennen?

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Du parametrisierst einfach die Lösungen der Gleichung. Ohne großartig zu Rechnen erhältst du beispielsweise diese Basis für \(U\):
$$\{ (-2,1,0,0)^T, (1,0,1,0)^T, (2,0,0,1)^T\} $$

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Warum genau 3 Vektoren?

Es gibt ja mehr als 3 Möglichkeiten 

Hat das etwas mit den 0en zu tun?

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Du scheinst noch nicht verstanden zu haben was eine Basis sein soll. Es gibt unendlich Möglichkeiten, U besitzt ja auch unendlich viele Elemente, aber alle Vektoren aus U können mit den Vektoren aus der angegebenen Basis durch Linearkombination gebildet werden. Eine Basis besteht aus der minimalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren die den zugehörigen Vektorraum aufspannen.