Wie bestimmt man die Basis von dem Schnitt bzw. der Summe von Untervektorräumen?

Question

Aufgabe:

Seien

$$V=\mathbb{R^4}$$ $$ W = < \begin{pmatrix} 1\\0\\3\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\\3\\5 \end{pmatrix}>$$

$$U=< \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\\2\\5 \end{pmatrix}>$$

$$M=< \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\0\\5\\4 \end{pmatrix}> $$

, wobei W, U, M Untervektorräume von V sind. Bestimme eine Basis für folgende Untervektorräume:

$$ 1.\ U\cap W \\ 2.\ M\cap W \\ 3.\ U+W \\ 4.\ M+W $$

Problem/Ansatz: Also zunächst einmal gilt ja per Definition folgendes :

$$ U\cap W =\left\{ v\in V: v\in U\wedge v\in W\right\}, \ \ U+W=\left\{v=u+w| u\in U,\ w\in W \right\} $$

Wie komme ich jetzt hier auf die Basis ? Normalerweise würde man die Basis eines Untervektorraums ja erhalten, indem man die Vektoren des Unterraums spaltenweise in eine Matrix schreibe und diese in Diagonalform bringe, also hier für U:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2\\1 & 1\\0 & 2\\3 & 5 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 2\\0 & -1\\0 & 0\\0 & 0 \end{pmatrix} $$

Wie aber bekomme ich die Basis, wenn es um den Schnitt bzw. die Summe von Unterräumen geht ? Wär cool, wenn da jemand ein allgemein gültiges Vorgehen wüsste.

Answer 1

Wenn du etwa den Schnitt von U und W

bearbeiten willst, dann bedeutet das ja, dass du die Elemente betrachtest,

die sowohl in U als auch in W sind. Für diese gilt:

Es gibt a,b,c,d ∈ℝ mit $$ a*\begin{pmatrix} 1\\0\\3\\2 \end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix}2\\1\\3\\5 \end{pmatrix}=c*\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\3 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}2\\1\\2\\5 \end{pmatrix}$$

Dieses Gleichungssystem kannst du lösen . Ich bekomme

Lösungen der Art

-t
t
t
0

d.h. c ist beliebig wählbar ==>  alle Vielfachen von

$$ \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\3 \end{pmatrix}$$

bilden die Schnittmenge und eine Basis besteht dann z.B. aus

diesem einen Vektor.

Für die Summen der Vektorräume packe einfach alle 4 erzeugenden

in eine Menge und reduziere sie zu einer Basis.