Basis vom Schnitt zweier Untervektorräume

Question

Es sei K ein Körper und es seien $$ \vec{u}_{1} , \: ... \:,\vec{u}_{k} \: \in K^{n} \:\: und \:\:\ vec{w}_{1} , \: ... \: , \vec{w}_{l} \: \in K^{n} \newline Und \: \: die \: \: linearen \:\: Unterräume \: \: U , \: \: W \: \: mit: \newline U=Lin( \vec{u}_{1} , \: ... \: , \vec{u}_{k}) \: \: und \: \: W=Lin( \vec{w}_{1} , \: ... \: , \vec{w}_{l}) \: \: von \: \: K^{n} \: \: gegeben. $$

(a) Wie kann man entscheiden, ob $$U\subset W$$ gilt?

(b) Wie kann man eine Basis von $$U\cap W$$ bestimmen?

(c) Wie kann man eine Basis von $$U+W$$ bestimmen?

Dabei geht es nicht um konkrete Vektoren, sondern um das generelle Vorgehen.
Aufgabe (a) habe ich bereits fertig und lautet grob so: "Falls die Vektoren alle Vektoren offensichtlich linear unabbhängig sind, folgt aus 'k>l', dass U keine Teilmenge von W sein kann. Falls nicht, muss man für jeden Vektor u1 bis uk prüfen, ob er in W liegt"

Bei (b) wäre mein Ansatz erst den "Schnitt" UVR zu bilden und dann davon eine Basis zu bilden. Ist das Richtig? Gibt es einfachere oder schönere Lösungen?

Answer 1

(a) Jedes \(\vec u \in \{\vec{u}_1,\dots \vec{u}_k\}\) lässt sich als Linearkombination aus \(\{\vec{w}_1,\dots \vec{w}_l\}\) darstellen.

Aus einem Erzeugendensystem \(M\) kannst du eine Basis machen indem du aus M sukzessive Vektoren entfernst, die sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lassen.

(b) Entferne aus \(\{\vec{u}_1,\dots \vec{u}_k\}\) alle Vektoren, die sich als Linearkombinationen aus \(\{\vec{w}_1,\dots \vec{w}_l\}\) darstellen lassen. Dann hast du ein Erzeugendensystem von \(U\cap W\).

(c) \(\{\vec{u}_1,\dots \vec{u}_k\}\cup \{\vec{w}_1,\dots \vec{w}_l\}\) ist ein Erzeugendensystem von \(U+W\).

Comments

Hi, erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Bei (c) bin ich auch darauf gekommen. Aber könntest du (b) vielleicht noch etwas genauer erklären. Also warum das so funktioniert und nehme ich die Vektoren aus \(\{\vec{u}_1,\dots \vec{u}_k\}\) die sich als Linearkombination von \(\{\vec{w}_1,\dots \vec{w}_l\}\) darstellen lassen als Basis oder entferne ich sie von der neuen Basis?