Untersuchung auf Linearität

Question

Hallo...

Ich hab eine Aufgabe in Lineare Algebra und weiß einfach nicht wie ich auf einen Vernünftigen Ansatz komme. Kann mir bitte jemand das Beispiel langsam vorrechnen damit ich die Grundidee verstehe.

Zur Aufgabe:

Untersuchen sie folgende Abbildungen auf Linearität. Geben sie im Falle der Linearität die Matrix der Abbildung bezüglich der kanonischen Basis des ℝⁿ bzw. der Basis{1,x,...xⁿ} von P_n an. Bestimmen sie jeweils das Bild und den Kern.

φ: ℝ³->ℝ² 

(x₁,x₂x₃)^T->(x₁x₂)

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Answer 1

Ich nehme an so:

(x₁,x₂ , x₃)^T->(x_{1 ,} x₂)^T

Linearität heißt nur, dass gelten muss

φ(x+y) = φ(x)  +  φ(y) für alle x, y aus IR^3

und    φ(a*x)=  a*φ(x)   für alle x aus IR^3 und a aus IR.

Das erste siehst du so:

φ(x+y) = φ(x1+y1  ; x2+y2 ; x3+y3  )  wegen der Def. von + in IR^3

=  (  x1+y1  ; x2+y2  )   wie die Abb. so definiert ist

= (x1 , x2 ) + ( y1 ; y2 )  Def. von + in IR^2

= φ(x)  +  φ(y)   wie die Abb. so definiert ist

also ist φ(x+y) = φ(x)  +  φ(y) für alle x, y aus IR^3erfüllt

ähnlich das 2.

Und für die Matrix brauchst du nur die Bilder der Basisvektoren von IR^3

in die Spalten der Matrix zu schreiben, hast also Matrix M =

1  0   0
0  1   0

Der Pfiff dabei ist: Wenn du das Bild von (a;b;c)^T haben willst,
nimmst du einfach
M * (a;b;c)^T und hast das Ergebnis.

Comments

Danke für die genaue Antwort.

Also hab ich das richtig verstanden, das ich im Prinzip nur zeige das es sowohl für ℝ³ als auch für den ℝ² egal ist ob ich (x1,x2,x3)^T+(y1,y2,y3)^T=(x1,x2)^T+(y1,y2)^T   

oder (x1+y1,x2+y2,x3+y3)^T=(x1+y1.x2+y2)^T rechne, weil für beides ja das selbe Ergebnis rauskommt? Und wenn dem nicht so wäre, dann ist es keine lineare Abbildung? Hab ich das so richtig verstanden?

Kannst du mir noch erklären wie du auf die Matrix gekommen bist?

Lg

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ungefähr richtig. Du musst dich natürlich darauf beziehen, dass

(x1,x2)^Tund  (y1,y2)^T   die Bilder von

(x1,x2,x3)^T und  (y1,y2,y3)^T  sind

Und dann muss eben das Bild der Summe gleich der

Summe der Bilder sein.

In den Spalten der Matrix stehen immer die Bilder der Basisvektoren,

bei der kanonischen Basis sind die Basisvektoren

(1;0;0)^T    (0;1;0;)^T    ....

Und das Bild von  (1;0;0)^T  ist eben

( 1; 0 )^T   weil du einfach bei der allgemeinen Definition
(x₁,x₂ , x₃)^T->(x_{1 ,} x₂)^T
x1=1 und für die anderen 0 einsetzen musst.