Nullstellen: f(x) = 0
Extremalstellen:
f'(x) = 0 und f''(x) < 0, dann Maximum
f'(x) = 0 und f''(x) > 0, dann Minimum
f'(x) = 0 und f''(x) = 0, dann Sattelpunkt
______________________________________________________________________________________
Hier kann man jeweils x oder sogar x^3 ausklammern:
______________________________________________________________________________________
f(x) = 1/6*x^3 + 2*x = (1/6*x^2 + 2)*x
Ein Produkt ist dann 0, wenn zumindest einer der Faktoren = 0 ist.
Also haben wir schon eine Nullstelle bei x = 0
oder
1/6*x^2 + 2 = 0
x^2 + 12 = 0
x^2 = -12
Das ist im Reellen nicht lösbar. Die einzige Nullstelle liegt also bei x = 0
Extremalstellen: 1. Ableitung = 0, 2. Ableitung ≠ 0
1. Ableitung
f'(x) = 1/2*x^2 + 2 = 0
x^2 + 4 = 0
x^2 = -4
Im Reellen nicht lösbar. Keine Extremalstellen.
______________________________________________________________________________________
f(x) = x^3 - 3*x^2 +3*x
= (x^2 - 3*x + 3) * x
Nullstelle natürlich bei x1 = 0
x^2 - 3*x + 3 = 0
x2 = 1,5 + Wurzel aus (2,25 - 3)
x3 = 1,5 - Wurzel aus (2,25 - 3)
Geht im Reellen nicht. Einzige Nullstelle x = 0
Extremalstellen:
f'(x) = 3*x^2 - 6*x + 3 = 0
x^2 - 2x + 1 = 0
x1 = 1 + Wurzel aus (1-1) = 1
x2 = 1 - Wurzel aus (1-1) = 1
f''(x) = 6x - 6
f''(1) = 6 - 6 = 0
Also keine Extremalstelle, sondern ein Sattelpunkt bei (1|1)
______________________________________________________________________________________
f(x) = x^4 - 2*x^3
= (x-2)*x^3
Also Nullstellen bei x1 = 0 und x2 = 2
Extremalstellen:
f'(x) = 4*x^3 - 6*x^2 = 0
4*x^3 = 6*x^2
4*x = 6
x = 6/4 = 3/2
f''(x) = 12*x^2 - 12*x
f''(3/2) = 12*9/4 - 12*3/2 > 0, also Minimum an (3/2|f(3/2) = (3/2|-1,6875)
