Zeigen Sie, dass das Dreieck, immer den Flächeninhalt 2 hat

Question

Hallo liebe Mathelounge! Ich habe folgende Frage:

Es sei f : (0; ∞) → ℝ gegeben durch f(x) = 1/x . Zeigen Sie, dass das Dreieck, dass von der Tangente an den Graphen von f an einer beliebigen Stelle x₀ ∈ (0; ∞) und den Koordinatenachsen gebildet wird, immer den Flächeninhalt 2 hat.

Ich weiß nichts mit dieser Aufgabenstellung anzufangen, brauche wirklich hilfe!

Answer 1

Hab mal ein paar eingezeichnet.

Mach doch einfach allgemein die Gleichung der Tangente am Punkt ( a ;  1/a)   und

bestimme die Schnittpunkte mit den Achsen.

Die leigen bei 2/a  auf der y-Achse und  2a auf der x-Achse, also

Dreiecksfläche 2a*1/a = 2

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Ich weiß leider nicht, wie Sie das meinen. :(

Also eine allgemeine Tangentengleichung wäre ja t(x)=nx+m, oder?

Answer 2

f(x) = 1/x

f'(x) = -1 / x^2 

Tangente an der Stelle a

x = a

f(a) = 1/a

f'(a) = -1/a^2

t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a) = -1/a^2 * (x - a) + 1/a = (2·a - x)/a^2

Y-Achsenabschnitt t(0)

t(0) = (2·a - 0)/a^2 = 2/a

Nullstelle t(x) = 0

(2·a - x)/a^2 = 0 --> x = 2a

Fläche des Dreiecks

A = 1/2 * g * h = 1/2 * 2a * 2/a = 2

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Danke, sehr freundlich von Ihnen!