a ∈ R bestimmen, so dass die Gleichung x^4 - 4x^3 + 27 = (x - a)^2 (x^2 + 2x +3) erfüllt wird?

Question

Gleichung nach a auflösen - wie?

Bestimmen Sie a ∈ R, so dass die Gleichung

x^4 - 4x^3 + 27 = (x - a)^2 (x^2 + 2x +3)

erfüllt wird.

Was wäre hierbei das schnellste Verfahren? Soll ich zuerst eine Polynomdivision mit dem Ausdruck ganz rechts durchführen? Und wenn ja: Wie gehe ich dann weiter vor?

Answer 1

x^4 - 4x^3 + 27 = (x - a)^2 (x^2 + 2x +3)

x^4 - 4x^3 + 27 = (x^2 -2ax+a^2) *(x^2 + 2x +3)

Nun stellst du dir die Multiplikation des Terms rechts vor und kommst auf.

27 = 3a^2        , anders kann man nicht auf einen Summanden ohne x kommen.

==> 9 = a^2

Also kommen nur a = ± 3 in Frage.

Multipliziere mit beiden rechts aus, bis du sicher bist ob eine der beiden Zahlen passt, oder gar beide.

Comments

Wie hast du denn die rechte Seite so weit zusammengefasst, dass dort am Ende nur noch 3a^2 steht?

Ich erhalte beim Ausmultiplizieren auf der rechten Seite:

x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 2ax^3 - 2ax^2 - 6ax + a^2x^2 + 2a^2x + 3a^2

Da lässt sich doch gar nichts zusammenfassen, oder?

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Es geht mir erst mal nur um den Summanden ohne x. Ich wiederhole mich nochmals:

"Nun stellst du dir die Multiplikation des Terms rechts vor und kommst auf.

27 = 3a²        , anders kann man nicht auf einen Summanden ohne x kommen. "

Nachdem du alles gerechnet hast, kannst du dir ja bestimmt vorstellen, woher 3a^2 kommt.