Nachweisen, dass das notwendige Konvergenzkriterium verletzt ist (Reihen)

Question

ich habe es mit der Reihe

∑ (1 - 1/2n)^n

zu tun. Ich habe mich dazu entschieden, nachzuweisen, dass es sich bei

an = (1 - 1/2n)^n

nicht um eine Nullfolge handelt, dementsprechend das notwendige Konvergenzkriterium verletzt ist:

Es gilt:

(1 - 1/2n)^n = exp(n log (1 - 1/2n))

Wenn ich (n log (1 - 1/2n) nun gegen unendlich schicke, dann erhalte ich irgendeine reelle Zahl x in R, und da ich weiß, dass

exp(x) ≠ 0 für jedes x in R,

kann die Folge nicht gegen 0 konvergieren.

Ist das so schlüssig oder weist diese Argumentation Mängel auf?

Lieben Gruß!

Answer 1

Deine Argumentation ist ok. Allerdings würde ich genauer zeigen, dass dies keine Nullfolge ist.

In etwa so:

$$ { \left( 1-\frac { 1 }{ 2n }  \right)  }^{ n }={ \left( 1+\frac { \frac { -1 }{ 2 }  }{ n }  \right)  }^{ n }\rightarrow { e }^{ \frac { -1 }{ 2 }  } $$