Welches Konvergenzkriterium bei "komplizierten" Reihen?

Question

Ich beschäftige mich zur Klausurvorbereitung gerade mit Reihenkonvergenz und merke, dass ich Probleme mit Reihen habe, bei denen sowohl Fakultäten als auch Potenzen von n oder irgendwas hoch n auftauchen. Wurzel- und Quotientenkriterium funktionieren dann immer nicht, weil der jeweils andere Term "stört" und ich glaube, man muss in solchen Fällen dann mit Majoranten/Minoranten abschätzen, aber ich bekomm das irgendwie nicht hin.

Ich habe mal drei Reihen hingeschrieben, bei denen ich nicht weiterkomme:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \frac{n!}{ (2n)^{n} } } \)

\( \sum\limits_{n=3}^{\infty}{ \frac{ n^{n} }{ 4^{n} n! } } \)

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ \frac{ n^{4} + n! }{ n^{n} -7 } } \)

Ich kenne als mögliche Majoranten zum Abschätzen die allgemeine harmonische Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \frac{1}{ n^{α} } } \)  für α>1, die geometrische Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ q^{n} } \) für |q|<1, die Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ \frac{1}{n!} } \) und die Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ \frac{ z^{n} }{n!} } \) .

Oder vielleicht funktioniert bei den ersten beiden doch das Wurzelkriterium? Nur wie geht man mit der Fakultät um?

Herzlichen Dank im Voraus!

Answer 1

Betrachte für das Quotientenkriterium \(  \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}  = \frac{|\frac{(n+1)!}{2(n+1)^{n+1}}|}{|\frac{n!}{2n)^{n}}|} \)

Beträge fallen weg

\( = \frac{(n+1)!(2n)^n}{(2(n+1))^{n+1}n!} \)    n! kürzen und Potenzen aufteilen

\( = \frac{(n+1)2^n n^n}{2^{n+1}(n+1)^{n+1}} \)   2^n und n+1 kürzen

\( = \frac{ n^n}{2(n+1)^{n}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{ n^n}{(n+1)^{n}} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{ n}{(n+1)})^n  \)

\( = \frac{1}{2} \cdot (1-\frac{ 1}{(n+1)})^n \)

Grenzwert für n gegen ∞ ist  \( = \frac{1}{2} \cdot e^{-1}  \) also <1

==> Reihe konvergent.

Beim 2. Fall komme ich entsprechend auf den Grenzwert e/4 < 1, also auch konv.

Comments

Bei Einsetzen für a_n etc. hast Du eine Klammer vergessen zu schreiben: (2(n+1))^(n+1)

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Danke, korrigiere ich.

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Vielen Dank! Doof, dass ich nicht selbst mit dem Quotientenkriterium klargekommen bin, hatte mich da verrechnet und gedacht, es ist nicht anwendbar.

Nochmal eine Frage: Ich kenne das, dass (1- 1/n)^n gegen 1/e konvergiert. Geht das tatsächlich auch, wenn da n+1 im Nenner steht, also ist das egal?

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Die zweite Reihe hab ich jetzt auch mit dem Quotientenkriterium hinbekommen :D

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Geht das tatsächlich auch, wenn da n+1 im Nenner steht, also ist das egal?

Ja, denn es gilt ja \(  \lim\limits_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n+1})^{n+1} = e^{-1}\)

<=>  \(  \lim\limits_{n \to \infty}( (1-\frac{1}{n+1})^{n}\cdot (1-\frac{1}{n+1}))= e^{-1}\)

Grenzwertsatz!

<=>  \(  \lim\limits_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n+1})^{n}\cdot \lim\limits_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n+1})= e^{-1}\)

<=>  \(  \lim\limits_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n+1})^{n}\cdot 1 = e^{-1}\)

<=>  \(  \lim\limits_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n+1})^{n} = e^{-1}\)  q.e.d.