Wie Leite ich folgende Funktion ab Potenz?

Question

Text erkannt:

c) \( \quad f(x)=\sqrt{x} \ln (x) \)

Das ist die Aufgabe:

Meine Vorgehensweise:

\( \begin{array}{l}\text { c) } f(x)=\sqrt{x} \ln (x) \\ f^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{x} \leftarrow \text { das ist mein aktueller } \\ \text { Lösung }=\frac{1}{2} \times-\frac{3}{2} \\\end{array} \)

Ich weiß nicht wie man am ende auf die -3/2 kommt. Hier soll die Potenzregel erfolgen, ich weiß aber nicht wie. Kann mir das jemand bitte rechnerisch darstellen.

Answer 1

Produktregel:

u= √x = x^(1/2), u' = 1/2*x^(-1/2) = 1/(2√x)

v= lnx , v' = 1/x

f '(x) = 1/(2x^(1/2))*lnx + x^(1/2)/x =  lnx/(2x^(1/2)) + 1/x^(1/2) = lnx/(2√x) + 1/√x

https://www.ableitungsrechner.net/

Comments

Warum sieht die Lösung und der Lösungsweg bei meinem Lehrer so aus?

Text erkannt:

C) \( f(x)=x^{\frac{1}{2}} \ln (x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{x}=\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} \)

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Lautet f(x) vlt: √x + lnx ??

Das hat dein Lehrer abgeleitet.

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Nee, auch das hat der Leerer nicht abgelitten. Dann wäre das Ergebnis nämlich \(\frac{1}{2\sqrt x}+\frac1x\).

Die Lösung von dem Leerer ist so schlecht, dafür wäre "falsch" noch eine zu gute Bewertung.

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Genau das hat mein ich korrigiere( Professor) abgeleitet. Bis au f(x)= wurzelx +ln(x). Er hat hier eben die wurzel glaub ich quadriert, damit eben x hoch 1/2 rauskommt. Diese abgeleitet wiederum ergeben dann die 1/2x. Bei Potenz wird dann immer ein Minus gemacht. Dann ln(x) abgeleitet 1/x. Nur woher die -3/2. Falls die -3/2 falsch ist, wäre die -1/2 richtig?

Also klar, eure Rechnung stimmt, keine Frage, aber nur aus neugier, hätte -1/2 gestimmt?

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Die Lösung von dem Leerer ist so schlecht, dafür wäre "falsch" noch eine zu gute Bewertung.

Vlt ist er mit der Taste +/*  beim Tippen durcheinandergekommen.

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Und dann beim Zusammenfassen der beiden Summanden zum Gesamtergebnis ebenfalls? Ich würde die Rechnung von dem Professor(!) nicht schönreden. Es ist eine Katastrophe, was für Leute wir heutzutage auf die Schüler und die Studenten loslassen.

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Und dann beim Zusammenfassen der beiden Summanden zum Gesamtergebnis ebenfalls?

Wenn schon, denn schon. :)

Es ist eine Katastrophe, was für Leute wir heutzutage auf die Schüler und die Studenten loslassen.

Man muss nehmen, was man kriegen kann.

Lehrer ist kein attraktiver Beruf mehr und gefährlich für die Gesundheit. Ich glaube, man wurstelt sich durch und denkt: Wird schon irgendwie gut gehen.

Das dem nicht so ist, belegen auch die Studienabbrecherquoten:

Dies entspricht ungefähr der Studienabbruchquote von 27%, die vor zwei Jahren auf Basis des Absolventenjahrgangs 2018 ermittelt wurde. An den Universitäten beläuft sich dabei der Studienabbruch auf 35%, an den Hochschulen für angewandte Wissenschaften (HAW) auf 20%.17.08.2022

Ohne gute Nerven droht der Burnout, und das hat sich rumgesprochen.

https://www.lehrer-news.de/blog-posts/intellektuell-unattraktiv-das-image-des-lehrerberufs-in-deutschland-und-der-welt

https://www.lehrer-news.de/blog-posts/intellektuell-unattraktiv-das-image-des-lehrerberufs-in-deutschland-und-der-welt

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Interessant, dass die Befragten sagen, dass in Deutschland der Beruf des Sozialarbeiters dem des Leherers am nächsten kommt.

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Ich habe nochmal mit jemanden gesprochen, bezüglich den Weg des Professors. Und zwar kann man die 1/x auch als x^1 schreiben. Diese rechnet man dann wie folgt: x-^1/2+x^-1     =-3/2

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Und zwar kann man die 1/x auch als x^1 schreiben.

Kann man nicht

Diese rechnet man dann wie folgt:

Auch nicht

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In dem Video von Daniel Jung wird das aber auch so gemacht

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Welches Video, link?

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Das hier.

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Da wird nichts von dem gesagt, was Du behauptest.

Answer 2

Aloha :)

Hier drängt sich die Produktregel auf:$$f(x)=\underbrace{\sqrt x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=v}$$$$f'(x)=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt x}}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=v}+\underbrace{\sqrt x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac1x}_{=v'}=\frac{\ln(x)}{2\sqrt x}+\frac{1}{\sqrt x}=\frac{\ln(x)+2}{2\sqrt x}$$

Comments

Warum sieht die Lösung und der Lösungsweg bei meinem Lehrer so aus?

Text erkannt:

C) \( f(x)=x^{\frac{1}{2}} \ln (x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{x}=\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} \)

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Die Lösung von deinem Leerer ist falsch.

Wir haben halt überall Fachkräftemangel ;)

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Das Wort "Fachkräftemangel" ist doch arg diskriminierend.

DIE Fachkraft.

DER Mangel.

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DER Mangel.

Es heißt DIE Mangel.

Ich weiß dass, denn meine Oma hat mit dem Handwagen immer ihre Bettwäsche dorthin geschafft.

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Warum sieht die Lösung und der Lösungsweg bei meinem Lehrer so aus?

Weil er die Produktregel nicht beachtet hat: \((F_1\cdot F_2)'=F'_1\cdot F_2+F_1\cdot F'_2\)

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Warum sieht die Lösung und der Lösungsweg bei meinem Lehrer so aus?

Du kannst solche "Lösungen" leicht kontrollieren, wenn Du Dir einfach die zugehörigen Graphen ausgeben lässt. (z.B. hier mit plotlux)

~plot~ sqrt(x)ln(x);0.5*x^(-3/2);(ln(x)+2)/(2sqrt(x)) ~plot~

Die blaue Kurve ist der Graph der Ausgangsfunktion \(x \mapsto \sqrt{x}\ln(x)\). Die Steigung ist bei \(x=0\) 'sehr negativ' und erreicht ,dann aber schnell den Wert 0 um anschließend dann in etwa mit dem Wert 1 nach oben abzugehen. Das ist genau der Verlauf, den die grüne Kurve mit der korrekten Lösung zeigt:$$f'(x)= \frac{\ln(x)+2}{2\sqrt{x}}$$ Die rote Kurve ist der Graph der Funktion \(x \mapsto \frac{1}{2}x^{-3/2}\). Dies hat rein gar nichts mit den beiden anderen zu tun!

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@abakus: Sie hat also in DER Mangel Fachkräfte entknittert?

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Sie hat sie vermutlich auch geplättet. Es war eine Heißmangel.