Wie leite ich folgende Funktionen ab? g(x)= -2 * x/ ( x^2-1 )

Question

Bilden Sie die erste und die zweite Ableitung der folgenden Funktionen.

1.)  f(x)= 1/√2π * exp (-x ²/2)  x∈ℝ

2.) g(x)= -2x/(x²-1)   x∈ℝ\{-1,1}

Comments

1. e^{f(x)} gibt abgeleitet : f '(x)*e^{f(x)}

2. = -2x*(x^2-1)^{-1}

Verwende die Produktregel.

u= .-2x --> u'= ...

v= (x^2-1)^{-1} --> v'= ...

Zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

zu 1)

y== 1/√2 *π * e^{-x^2/2}

1/√2 *π bleibt erhalten ->Konstante

y(x)= e^{-x^2/2}

z= -x^2/2

dz/dx= -x

y= e^{z}

dy/dz= e^z

---->

y '(x)= dy/dz *dz/dx

y ' = -   1/√2 *π  *x e^{-x^2/2}

Answer 2

f(x) = 1/(√2·pi)·EXP(- x^2/2)

Die innere Ableitung ist einfach "-x" und die kommt ja einfach nur als Faktor dazu.

Die zweite Ableitung muss dann mit der Produktregel gemacht werden.

Hier die zwei Ableitungen zur Kontrolle

f'(x) = - 1/(√2·pi)·x·e^{- x^2/2}

f''(x) = 1/(√2·pi)·(x^2 - 1)·e^{- x^2/2}

Ich sehe gerade, dass Gast2016 dir sogar einen Link zu einem Ableitungsrechner gegeben hat der dich bei solchen Aufgaben prima unterstützen kann.

Answer 3

g(x)= -2x/x²-1

Du hast die Klammerung vergessen

g(x)= -2 * x/ ( x²-1 )

Quotientenregel
u = x
u ´= 1
v = x^2 - 1
v ´ = 2x
v^2 = ( x^2 -1 )^2

g ´( x ) = -2 * [ 1 * ( x^2 - 1 ) - x * 2x ] / ( x^2 -1 )^2
g ´( x ) = -2 * ( - x^2 - 1 ) / ( x^2 -1 )^2
g ´( x ) = 2 * ( x^2 + 1 ) / ( x^2 -1 )^2

Comments

Die 2.Ableitung habe ich vergessen

g ´( x ) = 2 * ( x² + 1 ) / ( x² -1 )²

Diesmal mit der Produktregel und Kettenregel

g ´( x ) = 2 * ( x^2 + 1 ) * ( x^2 -1 )^{-2}
g ´´ ( x ) = 2 * [ 2x * ( x^2 -1 )^{-2}
       + ( x^2 + 1 ) * ( x^2 -1 )^{-3} * (-2 ) * 2x ]