rekonstruktion integralrechnung

Question

oeine quadrtische Parabel schneidet die y-achse bei -1 und nimmt ihr minimum bei x=4 an. Im 4. quadranten liegt unterhalb der x-achse über dem intervall (0;1) ein flächenstück zwischen der parabel und der x-achse, dessen inhalt 12 beträgt. Um welche Kurve handelt es sich?

Answer 1

f(x) = ax² +bx + c

f(0) = -1  →  c = -1 →  f(x) = ax² + bx -1 

 →  f '(x) = 2ax + b → f '(4) = 8a + b = 0 (Minimum bei x = 4)  →  b = -8a

→ f(x) = ax² - 8ax - 1

Flächenbedingung →

|₀∫¹ (ax² - 8ax - 1) dx  = - 12  ( Integral negativ, weil unterhalb x-Achse!)

 [ 1/3 ax³ - 4a x² - x ]₀¹ =  -12

1/3 a - 4a -1 - 0 = -12    | + 1

-11/3 a = -11    | • -3/11

a = 3  →  b = -24 

f(x) = 3x² - 24x -1

Ausschnitt:

Gruß Wolfgang

Answer 2

eine quadrtische Parabel schneidet die y-achse bei -1 und nimmt
ihr minimum bei x=4 an. Im 4. quadranten liegt unterhalb der x-achse
über dem intervall (0;1) ein flächenstück zwischen der parabel und
der x-achse, dessen inhalt 12 beträgt. Um welche Kurve handelt es sich?

f ( x )  = a*x^2 + b * x + c
f ( 0 ) =  -1   => c = -1
f ( x )  = a*x^2 + b * x -1

f ´( x ) = 2*a*x + b
f  ´( 4 ) = 2*a*4 + b = 0
8*a + b = 0
b = - 8a

f ( x )  = a*x^2 - 8a * x -1
F ( x ) = a * x^3 / 3 - 8 * a * x^2 / 2 - x
F ( x ) = a  ( x^3 / 3 - 4 * x^2 ) - x

[ a *  x^3 / 3 - 4 * a *x^2  - x ] ₀¹ = -12
a * 1^3 / 3 - 4 * a * 1^2  - 1 = -12
1/3 * a - 4 * a  = -11
- 11 / 3  * a = -11
a = 3

b = - 8a
b = -24

f ( x ) = 3 * x^2 - 24 * x -1