Beweis: nur eine Zahl 2^m< m^2

Question

Wie beweise ich das es nur eine natürliche Zahl mit 2^m < m^2 gibt?

Sowohl Ansätze als auch Lösungen sind willkommen

PS: mit beweisen tue ich mich einfach extrem schwer...

Comments

Rechne die Fälle m = 1,2,3,4 einzeln nach. Anschließend zeige per Induktion über m, dass 2^m > m² für alle m > 4 gilt.

Answer 1

warum beweist Du nicht "einfach" das Gegenteil, also dass gilt

\[ 2^n \geq n^2 \quad \forall n \in \mathbb{N} \backslash \{x\} \]

Gruss $$ $$

Comments

Was ist mit \(n=3\)? :)

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Ja, ich hatte die Antwort versehentlich schon abgeschickt. Jetzt ist sie richtig.

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Also ist \( x = 3 \). Es ist also \( \mathbb{N} \setminus \{ x \} = \mathbb{N} \setminus \{ 3 \} \).

Answer 2

das kannst du folgendermaßen beweisen: Du zeigst zuerst, dass \( 2^m < m^2 \) für \( m = 3 \) gilt.

Dann zeigst du, dass es weder für \( m = 1 \) noch für \( m = 2 \) gilt.

Schließlich zeigst du per Induktion, dass es für alle \( m \geq 4 \) nicht gilt. Der Induktionsanfang besteht dabei darin, zu zeigen, dass es für \( m = 4 \) nicht gilt.

In einem Schritt des Induktionsschrittes wirst du wahrscheinlich

\( 2m^2 \geq (m+1)^2 \) für alle \( m \geq 4 \)

zeigen wollen. Umgeformt ergibt sich

\( m^2 \geq (m+1)^2 - m^2 = 2m + 1\)

\( m^2 - 2m + 1 \geq 2 \)

\( (m - 1)^2 \geq 2 \).

Dies ist wahr für alle \( m \geq 3 \) also insbesondere für alle \( m \geq 4 \).

Mister