Determinante mit einer Dreiecksmatrix berechnen

Question

ich sitze schon seit Stunden an dieser Aufgabe und es kommt immer -192 raus.  Die richtige Lösung lautet +192. Was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

ich versuche es mal zu erklaeren:

Du darfst ohne die Determinante zu veraendern, das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren.

Du hast aber teilweise eine Zeile mit (-1) multipliziert und dann das Vielfache einer anderen Zeile addiert. Dadurch hast Du jeweils das Vorzeichen der Determinante geaendert und zwar genau 3 mal.

Ich habe die gleiche Rechnung wie Du gemacht, jedoch nicht z.B. die Zeile mal 3 und dann die andere subtrahiert, sondern die gleiche Zeile mal (-3) und dann zu der anderen addiert. Dadurch komme ich auf

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -8 & 0 & I \\ 3 & 0 & 7& 1 & II \\ -2 & -4 & 14 & 2 & III \\-3 & 0 & 5& 3 & IV \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -8 & 0 & \\ 0 & -6 & 31 & 1 & II - 3\cdot I \\ 0 & 0 & -2 & 2 & III + 2 \cdot I \\0 & 6 & -19 & 3 & IV + 3 \cdot I \end{pmatrix}$$

Hier hattest Du nicht $II -3\cdot I$ sondern $-II+ 3\cdot I$. Da kann man dann auch den Vorzeichenwechsel in der Zeile erkennen.

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -8 & 0 & \\ 0 & -6 & 31 & 1& \\ 0 & 0 & -2 & 2 & \\0 & 0 & 12 & 4 & IV+II \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -8 & 0& \\ 0 & -6 & 31 & 1& \\ 0 & 0 & -2 & 2& \\0 & 0 & 0 & 16& IV-6 \cdot III \end{pmatrix}$$

Link zu Rechenregeln: http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_11/ma_11_01…

Du kannst ja auch zusaetzlich an kleineren Matrizen oder mit Hilfe eines Rechners ueberpruefen, was ein Vorzeichenwechsel in einer Zeile für Auswirkungen hat.

Gruss

Answer 2

du hast  vom Prinzip her alles richtig gemacht.

Du hast nur ab der zweiten Zeile der zweiten Matrix  -31 statt 31 (stehen Rechenfehler)

Gruß Wolfgang

Comments

-8×3 -7 ergibt doch -31?

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Hallo Wolfgang,

ich hatte seinen Weg 2mal nachgerechnet und komme dabei auch auf sein Ergebnis. Einzig das Vorzeichen in der gesamten Zeile falsch. Das erklärt auch warum der Betrag der Determinante richtig ist.

Gruss

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In welcher Zeile?

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2te.

Seine Rechnung an sich ist korrekt, aber er hat die Berechnungen leider so angesetzt dass sich das Vorzeichen der Determinante ändert.

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Ich verstehe immer noch nicht, warum ich mit -1 multipliziere?

Ich subtrahiere doch nur eine Zeile von der anderen .

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Ok.

Subtraktion entspricht Addition von etwas mit (-1) multipliziert.

Du gehst hin und formst um:

3 mal I. - III.

das ist das gleiche wie

(-1) mal III. + 3 mal I.

das ist aber nicht exakt gleich

III + (-3) mal I

die Vorzeichen von dem was übrig bleibt sind anders.