Multilinearität einer Determinante

Question

Kann mir wer kurz in möglichst einfachen Worten erklären was es mit der Multilinearität einer Determinante auf sich hat. In meinem Buch steht: Als Funktion jedes der Spaltenvektoren ist die Determinante Linear. Ich fange damit nur leider nicht viel an. Bedeutet das jetzt das die Spalten Vektoren linear abhängig sind?

Lg

Answer 1

Lapidar aus gedrückt heißt das:

wenn man in einer Spalte der Determinante alle Zahlen mit x multipliziert,

dann hat das den gelichen Effekt, als wenn man die Det. mit x multipliziert.

UND:

wenn man in einer Determinante eine Spalte hat, die man sich als Summe

zweier  Spalten vorstellen kann, dann ist diese Determinate die Summe der

einfachen Determinanten, etwa so

1     3+4    7
3     2+5    8
5     4+1    9     ist das gleiche wie

1     3   7                  1    4    7
3     2   8       +         3    5    8
5     4   9                   5    1    9  

Answer 2

dass die Determinante linear in jeder Spalte ist, bedeutet, dass für die Matrixschreibweise \( A = (a_1, \dots, a_n) \) mit den Spaltenvektoren \( a_i \) gilt:

\( |(a_1, \dots, \lambda a_i, \dots, a_n)| = \lambda |(a_1, \dots, a_i, \dots, a_n)| \).

Die Determinante als Abbildung aufgefasst ist also linear in jeder Spalte.

Schöne Grüße

Mister