Bestimmen Sie rechnerisch Hoch-, Tief bzw. Sattelpunkte des Graphen von f.

Question

f(x) = 3x^3

Ableitung habe ich bereits bestimmt:

f'(x)=9x^2

Nun bin ich an der Stelle wo ich 0=9*x^2 bin. /:9 geht nicht, da dies 0 betragen würde. Es muss sich hier aber um einen Sattelpunkt handeln.

Genossen!

Comments

Danke für alle antworten, alle haben ihren Zweck erfüllt! Ich habe einfach Random ein "Beste?" gegeben, alle waren aber gut.

Answer 1

f(x) = x³ , x = 0 ist eine dreifache Nullstelle des Polynoms  → S(0|0) ist Sattelpunkt

allgemeiner:

 f '(x) = 9x² , f '' (x) = 18x , f '''(x) = 18

Wegen f(0) = 0 ,  f '(0) = 0 , f ''(0) = 0  und   f '''(0) ≠ 0 liegt  bei x =0 ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente vor, also ein Sattelpunkt.

Gruß Wolfgang

Answer 2

f(x) = 3x^3

f'(x) = 9x^2

f''(x) = 18x

Der Graph verhältst sich wie x^3. Da sollte man wissen das im Ursprung ein Sattelpunkt ist.

Extrempunkte f(x) = 0

9x^2 = 0 --> x = 0 (doppelte Nullstelle, daher kein Vorzeichenwechsel, daher kein Extrempunkt sondern Sattelpunkt)

Wendepunkte f''(x) = 0

18x = 0 --> x = 0 (Einfache Nullstelle, daher mit Vorzeichenwechsel und daher wirklicher Wendepunkt.)

Comments

9x^2 ist doch kein Sattelpunkt, sondern eine Parabelförmige Gleichung oder etwa nicht? Müsste man hierbei nicht sagen können, das es sich hierbei um einen Tiefpunkt handelt?

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Die Deutungen betreffen die Funktion f(x). f(x) hat dort also kein Extrema sondern einen Sattelpunkt. Es ist doch f(x) zu untersuchen und nicht f'(x).

Answer 3

bestimme erst einmal die ersten 3 Ableitungen, da Du sie alle für die Bestimmung von Sattelpunkten brauchen kannst und die ersten 2 ja schon für Extrempunktbestimmung . \( \)

Dann schaust Du wo \( f'(x_e)=0 \) für Extrempunkte und ueberpruefst das mit \( f''(x_e) \neq 0 \). Leider ist \(f''(x_e) =0 \), daher reicht das noch nicht aus und Du guckst Dir \(f'''(x_e) \) an. \( f''' \neq 0 \) gilt für alle x, also handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Die Berechnung dazu solltest Du lieber selbst machen, aber ich kann Dir sagen, dass man mit ein bisschen Erfahrung an der Funktionsgleichung schon erkennen kann, dass es sich um eine Funktion 3. Grades mit einem Sattelpunkt bei (0|0) und keinen Extrempunkten handelt.

~plot~3x^3~plot~

Gruss