Berechnen Sie a so, dass das Integral (3x^2 - 4x)dx im Intervall (-1;a) =2 ergibt.

Question

Meine Lösungen sind: a₁= -0,62 ; a₂= 1,62 und a₃=1

Nun soll ich diese drei Lösungen am Graphen veranschaulichen.

Wie sollte der Graph aussehen?

Lg

Answer 1

_-1∫^a (3x² - 4x) dx = [ x³ - 4x² ]_-1^a = a³ - 4a² - (-1 - 4)

= a³ - 2a² + 3 = 2

⇔ a³ -  2a² + 1 = 0

a=1 ist Lösung. Polynomdivision und anschließend pq-Formel:

⇔ (a -1) • (a² - a - 1) = 0

⇔ a = 1 oder a = 1/2 ± √5 / 2

Gruß Wolfgang

Answer 2

der Graph sieht so aus:

~plot~3x^2-4x~plot~

Hier kann man erkennen, dass es 2 Flaechenteile gibt die oberhalb der x-Achse liegen, also dem Integral eine positive Zahl hinzufuegen. Flaeche positiv bedeute Integralwert positiv. Genauso sieht man, dass es einen Teil unterhalb der x-Achse gibt.

Du hast 3 Werte, denn:

-1 bis -0,62 bringt Dir einfach einen Flaechenanteil links der ersten Nullstelle der Funktion, der schon 2FE hat.

Gehts Du weiter bis 1, addiert sich noch ein Teil, aber sobald Du die Nullstelle uebrschreitest verringert sich der Wert wieder. Durch die Lösung -1 bis 1 fuegst Du also nichts hinzu, da das Integral von -0,62 bis 1 genau 0 ist. Die Flaechenteile oberhalb und unterhalb sind dafuer naemlich gleich gross.

Gehst Du wieder weiter, wird das Integral bis zur zweiten Nullstelle noch kleiner, da die Flaeche immer noch unterhalb der x-Achse ist und den Teil gleicht man dann nach dieser Nullstelle wieder aus und das ist dann bei 1,62 geschehen.

Man kann sagen

$$ \int_{-1}^{1,6} f(x) dx=\int_{-1}^{-0,62}f(x) dx+\int_{-0,62}^{1}f(x) dx+\int_{1}^{1,62}f(x) dx=2+0+0 $$

Gruss