Parameter a bei fa(x)=x^3-a^2*x, a>0 bestimmen, damit Fläche unter dem Graphen 4 ergibt

Question

Ich weiter mit dieser Aufgabe überhaupt nichts anzufangen. Unser Thema ist zur zeit die Flächenberechnung unter graphen mithilfe von Integration. Muss ich in der folgenden Aufgabe die gleichung integrieren? Wie genau muss ich bei dieser aufgabe voran gehen? "Gegeben ist fa(x)=x^3-a^2*x, a>0. Wie muss a gewählt werden, damit die beiden von fa und der x-Achse eingeschlossenen Flächen jeweils den Inhalt 4 haben?" ;( ist a in diesem fall ein Parameter?)

Answer 1

fa(x) = x^3 - a^2·x = x·(x^2 - a^2)
Fa(x) = 0.25·x^4 - 0.5·a^2·x^2 

Nullstellen x = 0 und x = ± a

∫ (0 bis a) fa(x) dx = Fa(a) - Fa(0) = 0.25·a^4 - 0.5·a^2·a^2 = ± 4

0.25·a^4 - 0.5·a^2·a^2 = ± 4
- a^4/4 = ± 4
a = ± 2

f2(x) = x^3 - 2^2·x = x^3 - 4·x

Skizze:

Comments

Vielen Dank, Mich irritiert jedoch eine sache. woher soll man denn wissen dass das a in der gleichung die Nullstellen angibt? Ich dachte a wäre eine Konstante. Oder gibt es eine bestimmte regel dafür wie man das erkennen kann?

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Du musst schn die Nullstellen der Funktion bestimmen um zu erkennen das a zufällig die Nullstellen angibt.

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Ich verstehe diesen Schritt hier nicht: Fa(x) = 0.25·x4 - 0.5·a2·x2  Nullstellen x = 0 und x = ± a Wie hast du denn die Nullstellen vorher bestimmt, damit du erkennen konntest, dass a "zufällig" die Nullstellen angibt???

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Ich habe x ausgeklammert.

fa(x) = x³ - a²·x = x·(x² - a²) 

Dann haben wie eine faktorisierte Form. Da kannst du doch beinahe so die Nullstellen ablesen.

Ein Produkt wird Null wenn ein Faktor Null wird. Du kannst also beide Faktoren getrennt null setzen. 

Was muss x sein damit x = 0 ist? Was muss x sein damit x^2 - a^2 = 0 ist?

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Damit x und x^2-a^2 gleich null sind muss x null sein. Habe ich es richtig verstanden? Aber wie bestimme ich a?

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lös doch mal x^2 - a^2 = 0 nach x auf ...

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x^2-a^2=0 | +a^2; x^2 =a^2 | (wurzel); → x=a So nun weiß ich dass x gleich a ist. heißt das ich kann statt a das x in der gleichung ersetzen?

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Ja. Weil 0 und a dann die Integrationsgrenzen sind weil das Nullstellen sind.

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Aber an der Grafik sehen wir doch dass a eben nicht Null ist sondern -2 und +2

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Ja. Dafür habe ich auch die Stammfunktion gebildet und damit das Integral berechnet und dann nach a aufgelöst.

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Jetzt verstehe ich es endlich Dankeschön :-D

Answer 2

> Ich weiter mit dieser Aufgabe überhaupt nichts anzufangen.

Schade.

> Unser Thema ist zur zeit die Flächenberechnung unter graphen mithilfe von Integration. Muss ich in der folgenden Aufgabe die gleichung integrieren?

Ja.

> Wie genau muss ich bei dieser aufgabe voran gehen?

Am besten sehr genau.

> "Gegeben ist fa(x)=x³-a²*x, a>0. Wie muss a gewählt werden, damit die beiden von fa und der x-Achse eingeschlossenen Flächen jeweils den Inhalt 4 haben?"

1. Schnittpunktbestimmung zur Ermittlung der Integrationsgrenzen

2. Berechnung einer der beiden Flächen

   Man überlege sich, dass die Symmetrie der Funktion die Größengleichheit beider Flächen garantiert.

3. Auflösen der entstehenden Gleichung nach a.

> ;( ist a in diesem fall ein Parameter?)

Ja.

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Was ist denn ein Parameter überhaupt. Wie ist er definiert?

Answer 3

Ja, a ist ein Parameter.

Du musst zunächst die Integrationsgrenzen bestimmen, also die Nullstellen der Funktion f_a ( x ), also:

x ³ - a ² x  = 0

<=> x ( x ² - a ² ) = 0

<=> x = 0 oder x ² = a ²

<=> x = 0 oder x = - a oder x = a

Um den Inhalt der Fläche oberhalb der x-Achse zu bestimmen (diese liegt im Intervall [-a,0] ) musst du nun also das folgende Integral berechnen:

$$\int _{ -a }^{ 0 }{ { x }^{ 3 }-{ a }^{ 2 }xdx }$$$$={ { \left[ \frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 4 }-\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } { x }^{ 2 } \right]  }_{ -a }^{ 0 } }$$$$=0-\frac { 1 }{ 4 } { (-a) }^{ 4 }+\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } { (-a) }^{ 2 }$$$$=\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } { (-a) }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 4 } { (-a) }^{ 4 }$$$$=\frac { { a }^{ 4 } }{ 2 } -\frac { { a }^{ 4 } }{ 4 }$$Dieses soll nun den Wert 4 haben, also:$$\frac { { a }^{ 4 } }{ 2 } -\frac { { a }^{ 4 } }{ 4 } =4$$$$\Leftrightarrow \frac { { 2a }^{ 4 } }{ 4 } -\frac { { a }^{ 4 } }{ 4 } =4$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 4 }=16$$$$\Leftrightarrow { a }=\sqrt [ 4 ]{ 16 } =2$$

Comments

Ist deine Stammfunktion in den eckigen Klammern richtig?