Lineare Optimierungsaufgabe soll graphisch gelöst werden

Question

Z = 2X1 + 5X2 --> Max.

NB:

2X1 - X2 <= 8   --> P1 (0/-8) oder (0/+8) ??  P2 (4/0)

2X1 + 3X2 <= 18 --> P1 (0/6); P2 (9/0)

X1 - 2X2 >= -2 --> P1 (0/1); P2 (-2/0) oder muß ich die Ungleichung in eine <= - Bezeihung mit x( -1) umwandeln?

X1, X2 >= 0

Wo liegt der Lösungsbereich (graphisch)?

Ich bekomme für X1 = 12 und X2 05 und Z0 0 49 heraus, bin mir bei der Lösung aber absolut unsicher.

Wäre für eine Erklärung und den Graphen dankbar.

Danke und besten Gruß

Karsten

Answer 1

du zeichnest die Geraden ein:

dann löst du ihre Ungleichungen nach x₂ auf und siehst (≤ , ≥ ) , ob die Punkte der Nebenbedingung unterhalb oder oberhalb der Geraden liegen. So erhältst du im 1.Quadranten die durch die Achsen und drei Geraden begrenzte Menge A.

Dann zeichnest du die "z-Gerade"  x₂ = -2/5 x₁ + 1/5 z  mit beliebigem z (in der Zeichnung z = -5).

Da für Z ein Maximumm vorliegen soll, verschiebst du diese so weit wie möglich parallel nach oben, so dass sie gerade noch einen Punkt mit der Fläche A gemeinsam hat.

Als Lösung erhältst du den Punkt S (Schnittpunkt von g₁ und g₂)

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

okay, vielen Dank.
Also die Geraden habe ich auch so eingezeichnet.
Also ist die mit A gekennzeichnete Fläche der Lösungsbereich ? und dies nur im I. Quadranten, da ja also NB X1>0=0 und X2 >= 0 angeben ist??
Hast Du die Werte für X1 0 5 und X2 = 12 und somit für Z= 49 auch ausgerechnet??

Danke und Gruß

Karsten

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>Also ist die mit A gekennzeichnete Fläche der Lösungsbereich ?

Nein, A ist die Menge der Punkte, für die die Nebenbedingung gilt.

>  und dies nur im I. Quadranten, da ja also NB X1>0=0 und X2 >= 0 angeben ist?? 

ja 

> Hast Du die Werte für X1 0 5 und X2 = 12 und somit für Z= 49 auch ausgerechnet?? 

????????

grafische Lösung  Koordinaten von S ablesen,  S ≈ (4,3 | 3,1) 

Z_max  ≈ 24,1

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Hallo Wolfgang,

jetzt wird es klarer.
Hab ich soweit verstanden und Z Max nun auch raus.

Super, viiielen Dank!!

Trotzdem hänge ich noch an einer Nebenbedingung und somit der Fläche A:

X1 - 2X2 >= -2
 --> P1 (0/1); P2 (-2/0) oder muß ich die Ungleichung in eine <= - Bezeihung mit x( -1) umwandeln?

Da es sich ja um eine größer, gleich -Beziehung handelt, liegt der Lösungsbereich ja oberhalb dieser Geraden, was Du  ja auch in Deiner Grafik angegebn hast.

Liegt nicht aber in der Darstellung der Geraden der Bereich A unterhalb dieser Geraden und wäre dann eine kleiner, gleich - Beziehung.

Das wäre auch die letzte Frage, die ich zu diesem Problem hätte.

Vielleicht hast Du ja noch Lust auf eine Antwort.

Danke und schönes Wochenende

Karsten

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X1 - 2X2 >= -2  →  x₂  ≤  1/2 x₁ + 1 → A unterhalb (wie in der Zeichnung angegeben)

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Alles klar!!



Besten Gruß und vielen Dank für die Hilfe und dei Geduld!!

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Auch dir ein schönes Wochenende!

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X1 - 2X2 >= -2  →  x₂  ≤  1/2 x₁ + 1 → A unterhalb

Doch noch eine Frage:

wenn ich die Gleichung nach X2 auflöse (kann ich soweit nachvollziehen) - woran erkenne ich, dass es dann eine <= - Beziehung wird, bzw. wann wird es zu einer >= - Beziehung??

Answer 2

NB: 2·x - y ≤ 8 --> y ≥ 2·x - 8

NB: 2·x + 3·y ≤ 18 --> y ≤ 6 - 2/3·x

NB: x - 2·y ≥ -2 --> y ≤ x/2 + 1

HB: z = 2·x + 5·y --> y = z/5 - 2/5·x

Skizze:

Comments

vielen Dank für den Lösungsansatz!
Die Geraden habe ich auch so eingezeichnet.

Die Frage ist, wo liegt der Lösungsbereich??
Sind die Werte für X1 = 12 und X2 = 5 und Z = 49 korrekt??

Danke und Gruß

Karsten

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Lautet die Gleichungy ≥ ist der Bereich über der Geraden gemeint. Andernfalls der Bereich unter der Geraden. Wenn eine Lösung hast dann setzt die Werte doch mal in die Bedingungen ein und schau ob die Bedingungen erfüllt sind.