Es ist f(x)= (1/8)*x (x-6)^2 +4.

Question

Der Wendepunkt lautet (4/6).

Berechnen Sie die Größe der Fläche, die von der Wendetangente, der y-Achse und dem Schaubild von f eingeschlossen wird.

Answer 1

f(x) = 1/8 • x • (x-6)² + 4 = .... = 1/8 •  (x³ - 12x² + 36x + 32)

Wendepunkt W(4/6)

Die Gerade durch den Punkt P( x_p | y_p ) mit der Steigung m hat die Gleichung

y = m • ( x - x_p ) + y_p            [ Punkt-Steigungs-Formel ]   

Wendetangente:

t(x) = f '(4) • (x-4) + 6 = ... = -3/2 • x + 12

Fläche = ₀∫⁴  ( t(x) - f(x) )  dx =  ...  = 8

Gruß Wolfgang

Answer 2

f(x) = 1/8·x·(x - 6)^2 + 4 = 0.125·x^3 - 1.5·x^2 + 4.5·x + 4

f'(x) = 0.375·x^2 - 3·x + 4.5

f''(x) = 0.75·x - 3

Wendetangente

t(x) = f'(4) * (x - 4) + f(4) = 12 - 1.5·x

d(x) = (0.125·x^3 - 1.5·x^2 + 4.5·x + 4) - (12 - 1.5·x) = 0.125·x^3 - 1.5·x^2 + 6·x - 8

D(x) = 0.03125·x^4 - 0.5·x^3 + 3·x^2 - 8·x

D(4) = -8

Das sollten eventuell 8 FE sein. Eine Skizze könnte die Rechnung bestätigen.

~plot~ 0.125*x^3 - 1.5*x^2 + 4.5*x + 4; 12 - 1.5*x~plot~

Comments

Allerdings heißt es ja in der Aufgabenstellung, dass man die Fläche berechnen soll, die von der y-Achse eingeschlossen wird und nicht von der x-Achse. Müssten wir nicht dann y-Werte als Intervallgrenzen verwenden?

Lg