|x| > 10|x − 3| Fallunterscheidungen

Question

1. Fall: x < 0

2. Fall: 0 ≤ x ≤ 3 

3. Fall: x > 3  

Kann mir jemand bitte AUSFÜHRLICH erklären wie man auf die 3 Fallunterscheidungen kommt? Mir geht es um die Erklärung. Die Lösung habe ich selber, aber so ganz steige ich da bei den Fallunterscheidungen nicht durch.

Mein Ansatz wäre z.b.
1. Fall x<0 und (x-3) <0 
2. Fall x<0 und (x-3) ≥0
3. Fall (x-3) ≥ und x<0
4. Fall (x-3) ≥ und x≥0

Bitte nichts mit skizzierten Funktionen oder Quadrieren, mir geht es um die Fallunterscheidung :D

Comments

Fasse die Bedingungen in Deinen vier Faellen zusammen und streiche unmoegliche Faelle. Dann hast die Du drei angegebenen Faelle.

Answer 1

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.
Über oder unter 0 ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion
term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Den Nullpunkt mußt du also zuerst feststellen

Hier x = 0 und x = 3

Dann male ich mir einen Zahlenstrahl auf und zeichne die Werte ein.

Es ergeben sich 3 Bereiche die getrennt untersucht werden müssen.

Mit dieser Vorgehensweise behalte ich die Übersicht.

Comments

Wieso ist der 3. Fall nicht x≥3? für x=3 ist der Term doch gleich null und damit positiv oder nicht?

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Als Lösung wird 1. Fall x> 0
2. Fall 0≤x≤3 3. Fall x>3 
angegeben. Also muss ich mich nur entscheiden, dass wenn ich x≤0 nehme dann mit x>0 rechne?Wenn ich mich für x≤0 entscheide muss ich dann x>0 nehmen? Also nur eine Entscheidungsfrage?

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meine Antwort war nicht ganz korrekt.

Also nur eine Entscheidungsfrage?

Richtig : du kannst dich entscheiden in welchen Bereich du
x ≤ 0  dann x > 0
oder
x < 0  dann x ≥ 0
nehmen willst.

Mit der 3 dasselbe.

mfg Georg

Answer 2

Fall 1: x <= 0

Fall 2a: x >= 0

Fall 2b: x <= 3

Fall 3: x >= 3

Fall 2a und 2b lassen sich aber zusammenfassen zu einem Fall, also

Fall 1: x <= 0

Fall 2: 0 <= x <= 3

Fall 2: x >= 3

Comments

Also kann ich für die Fälle einfach angeben für welche x der Term positiv bzw. negativ wird? 
Für |x-3| für den positiven Fall also x≥3 ?

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Ja. Bei Beträgen gibt es die Fälle das der Term unter dem Betrag <= 0 oder >= 0 wird. Die 2 Fälle musst du unterscheiden.

Answer 3

Mein Ansatz wäre z.b. 
1. Fall x<0 und (x-3) <0  

bedeutet x < 0 und x < 3

Zusammen wegen dem UND einfach x< 3
2. Fall x<0 und (x-3) ≥0 

bedeutet

x < 0 und x≥3, das gibt es gar nicht. Kannst du als bei den Berechnungen gleich weglassen. 

3. Fall (x-3) ≥0 und x<0 

Bedeutet x ≥ 3 und x < 0 . Das gibt es auch nicht. ==> Weglassen.

4. Fall (x-3) ≥0 und x≥0 

Bedeutet x ≥ 3 und x≥0 . Zusammen wegen dem UND einfach x≥ 3.

Nun hast du aber noch den Bereich zwischen 0 und 3 nicht untersucht.

Merke dir einfach, dass du alle x auf dem reellen Zahlenstrahl in irgendeinem der Fälle vertreten haben musst. Wenn du einen der Ränder zufällig in 2 Fällen vertreten hast, spielt das keine Rolle.