Man schreibt die Matrix zweimal nebeneinander.
Dann multipliziert man die 1. Zeile der 1. Matrix komponentenweise mit der 1. Spalte der zweiten Matrix und schreibt die Summe in die Ergebnismatrix, und zwar an die Stelle (1;1). Dann 1. Zeile der 1. Matrix multipliziert mit 2. Spalte der 2. Matrix und das Ergebnis an die Stelle (1;2) etc.
Ich hoffe, es wird an folgendem Beispiel klar (die Zahlen sind dann nicht so verwirrend wie bei Deiner Matrix M):
1 2 1 2 1*1+2*3 1*2+2*4 7 10
. = =
3 4 3 4 3*1+4*3 3*2+4*4 15 22
Bei Deiner Matrix M ergibt sich also:
1 0 1 0 1*1+0*(-1) 1*0+0*1 1 0
-1 1 -1 1 -1*1+1*(-1) -1*0+1*1 -2 1
Ganz rechts steht also M^2
M^4 = M^2 * M^2
Hier schreibt man also das gefundene M^2 zweimal nebeneinander und verfährt genau so wie eben geschildert.
M^-1 ist die inverse Matrix zu M, das heißt, wenn man diese beiden miteinander multipliziert, ergibt sich das neutrale Element der Matrizenmultiplikation, die Einheitsmatrix
1 0
0 1
Sie zu finden ist etwas schwieriger:
Man schreibt neben M die Einheitsmatrix. Nun verwandelt man M in die Einheitsmatrix und führt exakt die gleichen Schritte mit der Einheitsmatrix, die rechts neben M steht, durch. Wenn man links fertig ist, steht rechts M^-1
1 0 1 0
-1 1 0 1
Wir addieren beide Zeilen und schreiben die Summe oben hin:
0 1 1 1
-1 1 0 1
Wir vertauschen die beiden Zeilen:
-1 1 0 1
0 1 1 1
Wir subtrahieren von der 1. Zeile die 2. Zeile:
-1 0 -1 0
0 1 1 1
Wir multiplizieren die 1. Zeile mit -1:
1 0 1 0
0 1 1 1
Nun steht links die Einheitsmatrix und rechts M^-1, also die inverse Matrix von M.
Bitte selbst überprüfen:
M mal M^-1 = E
