Ganzrationale Funktion 4. Grades durch den Ursprung und durch den WP(-2|2) bestimmen

Question

Aufgabe:

Der Funktionsgraph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades geht durch den Ursprung und durch den WP(-2|2). In diesen beiden Punkten ist die Tangente jeweils waagerecht. Bestimme die Gleichung der Funktion.

Ich habe bis jetzt Folgendes heraus:

$$\begin{array} { l } { f ( 0 ) = 0 } \\ { f ( 2 ) = 2 } \\ { f ^ { \prime \prime } ( - 2 ) = 0 } \\ { f ^ { \prime } ( 0 ) = 0 } \\ { f ^ { \prime } ( - 2 ) = 0 } \end{array}$$

Stimmt das?

Answer 1

Alles meiner Meinung nach soweit richtig, bis auf f(-2) = 2 und nicht f(2) = 2. Der WP befindet sich ja bei (-2|2)

Answer 2

"Der Funktionsgraph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades geht durch den Ursprung O(0|0) und durch den WP(-2|2). In diesen beiden Punkten ist die Tangente jeweils waagerecht. Bestimme die Gleichung der Funktion."

Ich verschiebe um 2 Einheiten nach unten:

O(0|0)→O´(0|-2)

WP(-2|2)→WP´(-2|0) Dreifachnullstelle

\(f(x)=a*(x+2)^3*(x-N)\)

O´(0|-2)

\(f(0)=a*(0+2)^3*(0-N)=-8a*N\)

\(-8a*N=-2\)        \(4a*N=1\)      \(a=\frac{1}{4N}\)

\(f(x)=\frac{1}{4N}*[(x+2)^3*(x-N)]\)

\(f´(x)=\frac{1}{4N}*[3*(x+2)^2*(x-N)+(x+2)^3]\)

\(f´(0)=\frac{1}{4N}*[-12N+8]\)

\(\frac{1}{4N}*[-12N+8]=0→N=\frac{2}{3}\)    \(a=\frac{1}{4*\frac{2}{3}}=\frac{3}{8}\)

\(f(x)=\frac{3}{8}*(x+2)^3*(x-\frac{2}{3})\)

\(p(x)=\frac{3}{8}*(x+2)^3*(x-\frac{2}{3})+2\)