Steckbriefaufgabe ganzrationale Funktion 3 Grades symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystem mit T(1/-2) .

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems und hat den Tiefpunkt T(1/-2). Wie lautet die Funktionsgleichung

Problem/Ansatz:

Hallo , ich hab als erstes die Ausgangsgleichung

f(x) =ax^3 + bx^2 +cx+d hingeschrieben und da es sich um eine punktsymmetrie handelt die geraden exponenten weggestrichen und habe dann dementsprechend die die Gleichung

f(x)=ax^3+cx heraus .

Dann den T(1/-2) f(1)=-1    f‘(1)=0

Beim Aufstellen der LGS hatte ich Probleme da ich eine Gleichung nämlich 3a+c=-2 rausbekam. Ich bin mir aber nicht ob es stimmt oder ob ich es anders aufstellen soll. Außerdem bin ich mir unsicher wie ich es dann berechnen soll .

Answer 1

Wegen der Symmetrie zum Ursprung genügt der Ansatz:

f(x)=ax³+bx daher f '(x)=3ax²+b.

f(1)=-2 bedeutet -2=a+b

f '(1)=0 bedeutet 0=3a+b

Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten kannst du sicher Lösen?

Comments

Ja das schaff ich Dankeschön :)

Answer 2

"Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems und hat den Tiefpunkt T(1|-2)→Hochpunkt H(-1|2). Wie lautet die Funktionsgleichung?"

Ich verschiebe den Graphen um 2 Einheiten nach oben: Tiefpunkt T´(1|0)

P(0|0)→P´(0|2)     H(-1|2) →  H´(-1|4)

Nullstellenform der kubischen Parabel:

\(f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)\)

\(f(0)=a*(0-1)^2*(0-N)=a*(-N)→a*(-N)=2→a=-\frac{2}{N}\)

\(f(x)=-\frac{2}{N}*(x-1)^2*(x-N)\)

\(f(-1)=-\frac{2}{N}*(-1-1)^2*(-1-N)\)

\(\frac{2}{N}*4*(1+N)=4\)

\(\frac{2}{N}*(1+N)=1→N=-2→a=1\)

\(f(x)=(x-1)^2*(x+2)\)

Nun 2 Einheiten nach unten:

\(p(x)=(x-1)^2*(x+2)-2\)