Ganzrationale Funktionen vom Grad 3, deren Graphen symmetrisch zum Ursprung sind?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad drei, deren Graphen symmetrisch zum Ursprung sind und die x-Achse an der Stelle x=2 schneiden

Problem/Ansatz:

Funktion dritten Grades ist: ax^3+bx^2+cx+d

Dann habe ich die Bedingungen:

1. Punktsymmetrie f(-x)=-f(x)

2. f(2)=0

Wie gehe ich da vor?

Answer 1

Da wir ein Punktsymmetrisches Polynom haben muss eine Nullstelle bei 0 sein. Eine Nullstelle war noch bei x = 2 vorgegeben. Wegen der Punktsymmetrie muss man dann aber auch eine Nullstelle bei x = -2 haben.

Da man jetzt alle 3 Nullstellen kennt, kann man sofort die faktorisierte Form aufschreiben.

f(x) = a·x·(x + 2)·(x - 2)

Hier braucht man nichts rechnen sondern einfach nur seinen Verstand mitlaufen lassen.

Comments

Wie kommt man dann auf die Lösung f(x)=ax^3-4x ? Denn so steht es in den Lösungen, aber ohne Rechenweg.

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Wie kommt man dann auf die Lösung f(x)=ax^3-4ax ? Denn so steht es in den Lösungen, aber ohne Rechenweg.

(Korrigiert)

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Man könnte ausmultiplizieren. Muss man aber nicht. Es ist auch so richtig. Es ist nur eine andere darstellungsform. Aber solange die nicht vorgeschrieben ist, darf man irgendeine Form verwenden.

f(x) = a·x·(x + 2)·(x - 2)

f(x) = a·x·(x^2 - 4)

f(x) = a·(x^3 - 4·x)

f(x) = a·x^3 - 4·a·x

Answer 2

Für ein punktsymmetrische Funktion 3. Grades würde ich den Ansatz f(x)=ax³+bx wählen.  a und b wird man bei einem einzigen gegebenen Punkt nur in Abhängigkeit voneinander angeben können. Es ist also nur eine Parameterdarstellung möglich.

Comments

Es muss doch auch gelten: f(-2) = 0.

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Die Punktsymmetrie ist in  f(x)=ax^3+bx schon enthalten. Wenn man diesen Ansatz wählt brauchst mal also nur f(2) = 0 als Bedingung weil die andere dann eh erfüllt ist.

Man kann f(-2) = 0 aber auch für die faktorisierte Form verwenden was einfacher geht weil die Funktion damit gleich zu notieren ist.

Answer 3

Beachte Rolands Hinweise.

Am Ende solltest du erhalten y=ax^3-4a*x.

Answer 4

Die ganzrationalen Funktionen vom Grad drei, deren Graphen symmetrisch zum Ursprung sind und die x-Achse an der Stelle x=2 schneiden, sind genau die durch $$ y = a \cdot (x+2) \cdot x \cdot (x-2) \quad\land\quad a \ne 0$$ darstellbaren Funktionen.