Stochastik! Alfred zieht aus einer Urne, die zwei Kugeln mit den Ziffern 1 und 2 enthält, eine Kugel

Question

Ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe, wo ich nicht weiter komme: Alfred zieht aus einer Urne, die zwei Kugeln mit den Ziffern 1 und 2 enthält, eine Kugel. Er legt die gezogene Kugel wieder in die Urne zurück und legt zusätzlich eine Kugel mit der Ziffer 3 in die Urne. Nun zieht Billy eine Kugel aus der Urne. Auch er legt sie wieder zurück und fügt eine mit der Ziffer 4 gekennzeichnete Kugel hinzu. Schließlich zieht Cleo eine Kugel aus der Urne.

a.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei Kugeln mit der gleichen Nummer gezogen?
b.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird mind. zweimal die 1 gezogen?
c.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden genau zwei Kugeln mit der gleichen Nummer gezogen?

a habe ich bereits gelöst die Rechnung lautet: 1/2x1/3x1/4+1/2x1/3x1/4
=1/12    ...allerdings verstehe ich gar nicht wie ich an Aufgabe b und c rangehen soll,.. Ich habe mir schon durch andere Foren die Lösungen durchgelesen aber konnte nichts mit denen anfangen :/ Im Anhang habe ich eine Skizze eingefügt , wie ich denke, dass das Baumdiagramm aussehen könnte..

Answer 1

Nur als Diskussionsvorschlag:

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden drei Kugeln mit der gleichen Nummer gezogen?

P(111, 222) = 1/2·1/3·1/4 + 1/2·1/3·1/4 = 1/12

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird mind. zweimal die 1 gezogen?

P(11x, 1x1, x11, 111) = 1/2·1/3·3/4 + 1/2·2/3·1/4 + 1/2·1/3·1/4 + 1/2·1/3·1/4 = 7/24

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden genau zwei Kugeln mit der gleichen Nummer gezogen?

P(11x, 1x1, x11, 22x, 2x2, x22, x33) = 2·(1/2·1/3·3/4 + 1/2·2/3·1/4 + 1/2·1/3·1/4) + 1·1/3·1/4 = 7/12

Comments

Danke erstmal für die Antwort :) Allerdings  verstehe ich deinen Rechenschritt bei aufgabe b und c nicht ganz und was meinst du mit p(11x, 1x1, x11 und so

Mfg maksimo

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11x bedeutet die ersten beiden male wird eine 1 gezogen und beim dritten mal etwas anderes als 1.

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Ahh ok,

und warum rechnet man 1/2·1/3·1/4 + 1/2·1/3·1/4  4 mal bei b?

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Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeiten für

P(11x) = 

P(1x1) = 

P(x11) = 

P(111) =

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Warum nur bei a) P(111) und P(222)? Was ist mit P(333) und P(444)? Die gibt es ja auch noch in der Urne, und warum erhöhen sich die Wahrscheinlichkeiten desto höher es geht beim Pfad auch bei a) ?

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Und warum ist bei aufgabe c) nur x33 aber nicht 3,3,x oder 3,x,3?

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P(333) und P(444)

Wie soll denn 3 mal die 3 gezogen werden, wenn sie in nur 2 Fällen in der Urne liegt?

Wie soll denn 3 mal die 4 gezogen werden, wenn sie in nur einem Fall in der Urne liegt?

Und warum ist bei aufgabe c) nur x33 aber nicht 3,3,x oder 3,x,3?

Weil Alfred bei der ersten Ziehung gar nicht die Möglichkeit hat, eine 3 zu ziehen (weil sie noch nicht in der Urne liegt).

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Ja aber ich bin bei der Bearbeitung der Aufgabe von einer anderen Endsituation ausgegangen. Ich bin davon ausgegangen, dass in der Urne jetzt 3 Kugeln drinne sind, da ja Cleo eine rausgenommen hat. Und nicht, dass man die Wahrscheinlichkeiten von Anfang mit berechnet. Warum macht man das eig bzw. wo ist der Sinn? Wäre es nicht einfacher und sinnvoller einfach die Wahrscheinlichkeit für das zu berechnen, was in der Urne ist?

Answer 2

Mögliche Ziehungen der Kugeln aus der Urne, pro Person:

Alfred: Kugel 1, Kugel 2

Billy: Kugel 1, Kugel 2, Kugel 3

Cleo: Kugel 1, Kugel 2, Kugel 3, Kugel 4

a)

E₁: Baumdiagramm:

Eins - Eins - Eins

Zwei - Zwei - Zwei

P(E₁) = 1/2 · 1/3 · 1/4 · 2 = 1/12 = 0,083 = 8,3%

b)

E_2: Baumdiagramm:

Eins - Eins - Nicht Eins

Nicht Eins - Eins - Eins

Eins - Eins - Eins

P(E₂) = 1/12 + 1/2 · 1/3 · 1/4 = 7/24 = 0,2916 = 29,16%

c)

E₃: Baumdiagramm:

Eins - Eins - Nicht Eins

Nicht Eins - Eins - Eins

Zwei - Zwei - Nicht Zwei

Nicht Zwei - Zwei - Zwei

Nicht Drei - Drei - Drei

P(E₃) = 1/8 · 4 + 1/3 ·1/4 = 7/12 = 0,583 = 58,3%