Funktionsschar und Ortskurve für Funktion f_{a}(x) = 1/a(x+1)(x-a)^2

Question

Aufgabe:

Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f_{a} in Abhängigkeit von a. $$f _ { a } ( x ) = \frac { 1 } { a } ( x + 1 ) ( x - a ) ^ { 2 }$$

Wie kann ich diese Funktionsschar lösen? Ich brauche das Ergebnis mit Nullstellen, Extrempunkte mit Ortskurve und Wendepunkte mit Ortskurve.

Wie sehen die 1. und 2. Ableitung aus?

Answer 1

  f(x) = 1/a * ( x + 1) * (x - a)^2

  Def-Bereich : R \ { a } ( wegen 1/a )

  Nullstellen bei
  ( x + 1 ) = 0 => x = -1
  ( x - a) = 0 => x = a

  ( -1 Ι 0 ), ( a Ι 0 )

  f´(x) = 1/a * ( 1 * (x-a)^2 + ( x + 1) * 2 * (x-a) )
  f´(x) = 1 /a * ( x^2 - 2*a*x + a^2 + 2 * ( x^2 + x - a*x - a ))
  f´(x) = 1/a * ( x^2 - 2*a*x + a^2 + 2 * x^2 +2* x - 2*a*x - 2*a )

  f´(x) = 1/a * ( 3 *x^2 - 4*a*x + 2*x + a^2   - 2*a )

  f´´(x) = 1/a * ( 6*x - 4*a + 2 )

 Extremwerte bei

x = a ; y = 0
x = a/3 - 2/3

  Wendepunkt bei

  x = 2*a/3 - 1/3

  Es wird mir doch zuviel Rechnerei. Ich hoffe die Antwort hilft weiter.

  mfg Georg