Ortskurve der Hoch- und Tiefpunkte einer Funktionsschar?

Question

Ich weiß, wie ich fast alles über das bilden einer Ortskurve bilde.

Bsp.: Aufgabe: Auf welche Ortskurve liegen alle Hoch und Tiefpunkte der Funktionsschar.

x³-12t²x=ft(x)

Die Hp und TP habe ich berechnet

Hp(2t/-16t³) und Tp(-2t/16t³)

Nun weiß ich nicht, wie ich weitermachen muss.

Muss ich den HP oder den TP nehmen.

Das Umformen dürfte kein Problem mehr sein

Comments

Bsp.: Aufgabe: Auf welche Ortskurve liegen alle Hoch und Tiefpunkte der Funktionsschar.

Musst du genauer nehmen! Der Satz ist grammatisch falsch. 

Entweder 

Bsp.: Aufgabe: Auf welcher Ortskurve liegen alle Hoch und Tiefpunkte der Funktionsschar.

Dann sollten Hoch- und Tiefpunkte zusammen nur eine Ortskurve bilden.

Oder

Bsp.: Aufgabe: Auf welchen Ortskurven liegen alle Hoch und Tiefpunkte der Funktionsschar.

Hier könntest du zwei verschiedene Ortskurven erwarten.

Answer 1

HP:   x=2t   y = -16t^3

         t=x/2  ==>     y = -16 * (x/2)^3 = -2x^3

Also HP'e auf    y = -2x^3

TP einsetzen gibt 16t^3 = -2*(-2t)^3

                            <=>  16t^3 = -2*-8t^3   Passt.

Sowohl HP'e als auch TP'e liegen auf dem Graphen

der Funktion mit der Funktionsgleichung  y = -2x^3 .

Passt ganz gut:  Ortskurve ist lila:

~plot~ x^3-12x; x^3-3x;x^3-(4/3)x;-2*x^3;[[-6|6|-20|20]] ~plot~

Answer 2

Muss ich den HP oder den TP nehmen.

Erst das eine, dann das andere. Kommt vielleicht das Gleiche heraus?

Answer 3

  Folgendes Vorgehen.

       f_t  :=  x  ³  -  12  t  ²  x       (  1  )

      erste  Ableitung Null setzen

       f  '  (  x  )  =  3  (  x  ²  -  4  t  ²  )  =  0  ===>  t  ²  =  1/4  x  ²    (  2  )

       Du das hab ich übrigens von Schülern gelernt.  ( 2 ) musst du stets nach t umstellen und nicht nach x , weil ja die Ortskurve eine Kurve y = g ( x ) werden soll.  Jetzt t einsetzen in ( 1 )

     f  [  x  ;  x  (  t  )  ]  =  x  ³  -  12/4  x  ²  *  x  =  -  2  x  ³      (  3  )

      Hier wird die Frage aufgeworfen, ob du an Hand der Ortskurve Maxima von Minima unterscheiden kannst; natürlich nicht. Verbunden werden unterschiedslos die Nullstellen der 2. Ableitung " ohne Ansehung des Punktes "

        Eine grafische Darstellung der Ortskurve hätte an sich ein Overlay der gesamten Kurvenschar zu sein, so dass man auch erkennt, zu welchem t ein gegebenes Extremum gehört. Zwischen dem Regime der Minima und Maxima ( für identisches t ) sollter sich dann logischer Weise auch ein Terrrassenpunkt verstecken.