Wahrscheinlichkeiten für ein Mindestergebnis beim Würfeln

Question

Heyho,

für ein Rollenspiel möchte ich mir eine Formel basteln, die mir unkompliziert anzeigt, wie hoch die Erfolgsaussichten sind einen bestimmten Wert zu erreichen bzw. zu übertreffen.

Ich stelle mir das so vor, dass ich der Formel als Werte nur die Anzahl der Würfel, die Anzahl der Augen, ggf. einen Bonus und den zu erreichenden Wert angebe und dann automatisch ein Ergebnis wie etwa 70% angezeigt wird.


Mein Gedankengang dazu sieht wie folgt aus:

Ich würfle mit 2w6 und benötige ein Ergebnis von 5 oder höher.

Bei 2w6 habe ich mindestens 2 und höchstens 12 Augen, es gibt also 11 mögliche Ergebnisse (12 - 2 + 1 = 11). Von diesen 11 möglichen Ergebnissen interessieren mich aber nur die 8 Ergebnisse, die 5 oder mehr Augen anzeigen (12 - 5 + 1 = 8). Von 11 möglichen Ergebnissen gibt es also 8, deren Augensumme 5 oder höher ist, die Wahrscheinlichkeit beträgt somit 72,73% (8/11).

Bei 2w6+1 hätte ich mindestens 3 und höchstens 13 Augen, aber immer noch nur 11 mögliche Ergebnisse (13 - 3 + 1). Allerdings bekomme ich nun 9 Ergebnisse, deren Wert 5 oder höher liegt (13 - 5 + 1). Die Wahrscheinlichkeit würde also auf 81,82% steigen (9/11).


Ist mein Gedankengang so eigentlich richtig bzw. ist es zulässig die Anzahl der möglichen Kombination zu reduzieren? Oder müsste ich tatsächlich alle 36 Kombinationen berücksichtigen, anstatt der von mir genannten 11? Wie würde dann die Formel lauten, mit der ich die relevanten Kombinationen (also diejenigen mit Augensumme 5+) erhalte?


Im voraus schon einmal vielen Dank für eure Hilfe

FG
Thomas

Comments

Ich habe inzwischen am Beispiel von 2w6 nachgerechnet und habe festgestellt, dass ich nicht darum herumkomme, mich mit allen Wertekombinationen zu beschäftigen. Denn wenn ich bei obigem Beispiel bleibe, dann habe ich bei 2w6 eben nicht eine 8/11 Wahrscheinlichkeit, eine 5 oder höher zu erreichen, sondern vielmehr eine 30/36 Wahrscheinlichkeit.

Deshalb habe mir jetzt quasi mit der "Brute-Force Methode" beholfen, indem ich alle möglichen Wertekombinationen aus maximal 6 Würfeln mit einer beliebigen Anzahl an Seiten errechnet und in eine Datenbank gestellt habe. Ich muss dann nur noch auf diejenigen Ergebnisse filtern, die größer oder gleich meinem gesuchten Wert sind. Elegant ist das aber nicht. Es muss doch eine andere Möglichkeit geben, als den großen Holzhammer herauszuholen :-(

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Die Holzhammer Methode lässt sich vereinfachen

Und zwar sind die möglichen Kombinationen welche ein bestimmtes Endergebnis zweier Würfel ergeben immer in einer Folge oder Reihe darstellbar (egal ob 2 mal W4 W6 W8 W10 W12 oder W20)

Das Endergebnis 2 ist nur nit den einzelergebnissen 1 + 1 darstellen.

Das Endergebnis 3

nur mit 1 beim ersten Würfel 2 beim zweiten Würfel und umgekehrt 2 beim ersten Würfel 1 beim Zweiten Würfel

Soweit die Holzhammer Methode

Es gibt immer eine Kombination mehr für jedes weitere Endergebnis

Also

1 Kombination für den Wert 2

2 Kombinationen für den Wert 3

3 Kombinationen für den Wert 4

Usw.

Die Gesamtzahl aller möglichen kombinationen welche zwei Würfel aufzeigen können ist = Augenzahl der Würfel miteinander multipliziert

2 Stück W6 also 36 mögliche Kombinationen

2 Stück W10 dann 100 mögliche Kombinationen

Wichtig ist noch dass nach dem Mittelwert der addierten beiden Würfel

(Mittelwert ist hier der Wert des Würfels plus eins Also 2 W6 = 7; 2 W10 = 11 usw.)

die Anzahl der Kombinationen welche die Zahl ergeben wieder jeweils um eins sinkt.

Somit gibt es bei zwei W6 mit 36 Kombinationen insgesamt für das Ergebnis 2 und 12 gleich viele (nämlich eine) Kombinationen

Und für 6 und 8 ( eins unter und eins über dem Mittelwert 7) ebenfalls gleich viele (5) mögliche Kombinationen

Für 2 W6 kann man mit der Holzhammer Methode per Hand noch ganz gut zurecht kommen aber mit zwei W8 oder W10 wird es schon sehr zeitraubend

Answer 1

Was bedeutet 2w6 genau ? Sind die Würfel unterscheidbar ?

Comments

2w6 bedeutet hier ganz einfach, dass ich 2 Würfel mit 6 Seiten benutze. 2w10 wären analog dazu 2 Würfel mit jeweils 10 Seiten.