Produktionsfunktion: F(x1, x2) = 15·x1^2 + 71·x1·x2 + 10·x2^2

Question

Die Produktionsfunktion eines Herstellers laute:

F(x1, x2) = 15·x1^2 + 71·x1·x2 + 10·x2^2

Man bestimme die optimale Faktorkombination zu den Faktorpreisen 75 und 70 und dem Produktionsniveau 3452. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten? 

Answer 1

Lagrange

L = 75·x + 70·y + k·(15·x^2 + 71·x·y + 10·y^2 - 3452)

Partiell ableiten

Lx = 30·k·x + 71·k·y + 75 = 0 --> k = - 75/(30·x + 71·y)

Ly = 71·k·x + 20·k·y + 70 = 0 --> k = - 70/(71·x + 20·y)

k gleichsetzen

- 75/(30·x + 71·y) = - 70/(71·x + 20·y)

y = 645/694·x

In Nebenbedingung einsetzen

15·x^2 + 71·x·y + 10·y^2 - 3452 = 0

15·x^2 + 71·x·(645/694·x) + 10·(645/694·x)^2 - 3452 = 0

x = 6.206136807

y ausrechnen

y = 645/694·x

y = 645/694·6.206136807 = 5.767951355

Kosten ausrechnen

K = 75·x + 70·y

K = 75·6.206136807 + 70·5.767951355 = 869.2168553

Comments

wie bist du auf y = 645/694·x gekommen?

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Löse die Gleichung

- 75/(30·x + 71·y) = - 70/(71·x + 20·y)

nach y auf.

- 75·(71·x + 20·y) = - 70·(30·x + 71·y)

...

Weiter schaffst du sicher alleine oder?