Bedeutung der Folge (a2n)

Question

Ich verstehe die genaue Bedeutung von dem Ausdruck (a2n) leider nicht.

Ich schreib mal die Aufgabe hier rein:

Es sei (an) n € N eine Folge reeller Zahlen, die gegen einen Grenzwert a konvergiert.

Ist folgende Aussage richtig?


Gilt a>0, so konvergiert die Folge (a2n) gegen 2a.


Ich weiß, dass die Aussage falsch ist, aber ich verstehe gar nicht was mit (a2n) gemeint ist.

Bzw. was diese 2 jetzt mit der Folge (an) anstellt?

Schon mal vielen

Answer 1

Schreibe einfach mal die jeweils ersten Glieder beider Folgen, also die Glieder mit den Indexen n = 0, 1, 2, 3, 4, ... hin. Du erhältst:

( a _n ) = a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, ...

bzw.

( a _{2 n} ) = a₀, a₂, a₄, a₆, a₈ ...

Du erkennst: Die Folge ( a _{2 n} ) ist eine Folge, die nur jedes zweite Glied der Folge ( a _n ) enthält. ( a _{2 n} ) ist also eine Teilfolge der Folge ( a _n ). Für Folgen und ihre Teilfolgen aber gilt:

Wenn eine Folge ( a _n ) gegen den Grenzwert a konvergiert, dann konvergiert auch jede Teilfolge von ( a _n ) gegen denselben Grenzwert a.

Die zu untersuchende Aussage ist also falsch.