Wahrscheinlichkeit, gezinkter Würfel

Question

Ich habehier mal eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe

Ein gezinkter Würfel enthält an der Ecke 2−3−6 ein Bleigewicht.

Dadurch werden die Augenzahlen 2, 3, 6 gleichhäufig

geworfen, jedoch doppelt so häufig wie 1, 4, 5.

Begründe, warum P({1})=1/9???

kann mir jemand weiterhelfen???

Answer 1

aus den Voraussetzungen ergibt sich

\( 1= P\{1\}+P\{2\}+P\{3\}+P\{4\}+P\{5\}+P\{6\} \)

\( P\{1\}=P\{4\}=P\{5\} \)

\( P\{2\}=P\{3\}=P\{6\} \)

\( 2 \cdot P\{1\}= P\{2\} \)

Einsetzen in

\( 1= P\{1\}+P\{2\}+P\{3\}+P\{4\}+P\{5\}+P\{6\} \)

\( 1= P\{1\}+2 \cdot P\{1\}+P\{1\}+2 \cdot P\{1\}+P\{1\}+2 \cdot P\{1\} \)

\( 1= 9 \cdot P\{1\}\)

\( P\{1\}=\frac{1}{9} \)

\( P\{1\}=P\{4\}=P\{5\}=\frac{1}{9} \)

\( P\{2\}=P\{3\}=P\{6\}=\frac{2}{9} \)

Gruss

Comments

vielen Dank, noch eine letzte Frage.

 Es werden zwei derartige Würfel geworfen. Wie kann ich die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Augensumme angeben?

---

Am besten machst du eine Quadratische Tabelle und schreibst dort die Augensummen sowie die zugehörige Wahrscheinlichkeit rein.

Dann kannst du in einer 2. Tabelle eine Spalte mit Augensummen und eine zweite mit den (summierten) Wahrscheinlichkeiten hinschreiben.

---

Hallo Lu, muß es nicht ( multiplizierten ) Wahrscheinlichkeiten heißen ?

1.Würfel 2. Würfel Summe Wahrscheinlichkeit
1 1  2 = 1/9 * 1/9 = 1 / 81
1 2 3 = 1/9 * 2/9 = 2 / 81
usw
2 1 3 = 2/9 * 1/9 = 2 / 81

Für die Augensumme 3 = 2/81 + 2/81 = 4 /81

mfg Georg      

---

In der quadratischen Darstellung müssen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten mult werden (klar).

Aber bei der zweiten, der Verteilungstabelle ist dann noch Addition nötig.

Bsp. Zeile für die Summe 4:

P(Summe 4) = P(1,3) + P(2,2) + P(1,3)

Amerkung: Du rechnest ja richtig.

---

1-4-5 einfach
2-3-6 doppelt

1.Würfel 2. Würfel Summe Wahrscheinlichkeit
1 1  2 = 1/9 * 1/9 = 1 / 81 
1 2 3 = 1/9 * 2/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
1 3 4 =  1/9 * 2/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
1 4 5 = 1/9 * 1/9 = 1 / 81  * 2 = 2 / 81
1 5 6 = 1/9 * 1/9 = 1 / 81  * 2 = 2 / 81
1 6 7 =  1/9 * 2/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81

2 2 4 = 2/9 * 2/9 = 4 / 81
2 3 5 =  2/9 * 2/9 = 4 / 81 * 2 = 8 / 81
2 4 6 =  2/9 * 1/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
2 5 7 =  2/9 * 1/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
2 6 8 =  2/9 * 2/9 = 4 / 81 * 2 = 8 / 81

3 3 6 = 2/9 * 2/9 = 4 / 81
3 4 7 =  2/9 * 1/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
3 5 8 = 2/9 * 1/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
3 6 9 = 2/9 * 2/9 = 4 / 81 * 2 = 8 / 81

4 4 8 = 1/9 * 1/9 = 1 / 81 
4 5 9 = 1/9 * 1/9 = 1 / 81  * 2 = 2 / 81
4 6 10 =  1/9 * 2/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81

5 5 10 = 1/9 * 1/9 = 1 / 81 
5 6 11 =  1/9 * 2/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81

6 6 12 =  2/9 * 2/9 = 4 / 81

-----------------------------------

1 1  2 = 1/9 * 1/9 = 1 / 81 
1 / 81

1 2 3 = 1/9 * 2/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
4 / 81

1 3 4 =  1/9 * 2/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
2 2 4 = 2/9 * 2/9 = 4 / 81
8  / 81

1 4 5 = 1/9 * 1/9 = 1 / 81  * 2 = 2 / 81
2 3 5 =  2/9 * 2/9 = 4 / 81 * 2 = 8 / 81
10 / 81

1 5 6 = 1/9 * 1/9 = 1 / 81  * 2 = 2 / 81
2 4 6 =  2/9 * 1/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
3 3 6 = 2/9 * 2/9 = 4 / 81
10 / 81

1 6 7 =  1/9 * 2/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
2 5 7 =  2/9 * 1/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
3 4 7 =  2/9 * 1/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
12 / 81

2 6 8 =  2/9 * 2/9 = 4 / 81 * 2 = 8 / 81
3 5 8 = 2/9 * 1/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
4 4 8 = 1/9 * 1/9 = 1 / 81 
13 / 81

3 6 9 = 2/9 * 2/9 = 4 / 81 * 2 = 8 / 81
4 5 9 = 1/9 * 1/9 = 1 / 81  * 2 = 2 / 81
10 / 81

4 6 10 =  1/9 * 2/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
5 5 10 = 1/9 * 1/9 = 1 / 81 
5 / 81

5 6 11 =  1/9 * 2/9 = 2 / 81 * 2 = 4 / 81
4 / 81

6 6 12 =  2/9 * 2/9 = 4 / 81
4 / 81

Summe 81 / 81 = 1

Ich nehme an du hast gezinkte Würfel

Wahrscheinlichkeit Augensumme
2 bis 7 : 45 / 81
8 bis 12 : 36 / 81

---

Der Gast schreibt oben:

" Es werden zwei derartige Würfel geworfen. Wie kann ich die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Augensumme angeben?"

Die "Verteilung der Augensummen" (allenfalls zusätzlich noch kumuliert https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsverteilung#Diskrete_Verteilungen) ist die zweite von mir beschriebene Tabelle (vgl. mein erster Kommentar) . 

Dein 

" Wahrscheinlichkeit Augensumme 
2 bis 7 : 45 / 81 
8 bis 12 : 36 / 81  " 

hat mE keinen Bezug zur Fragestellung. 

---

Diese Angabe entspringt meiner Vermutung das ein gezinktes Würfelpaar
existiert und gegen einen Mitspieler die Augensumme 2 bis 7
erfolgversprechender ist.

mfg Georg

---

@georgborn.

Die Wahrscheinlichkeit dafuer, dass ein Wurf mit zwei nicht gezinkten Wuerfeln 2 bis 7 als Ergebnis hat, ist aber aus mehreren Gruenden eh schon hoeher, also die das man 8 bis 12 wuerfelt. Zum einen sind es mehr Moeglichkeiten 2-7 sind 6 Ergebnisse, und 8-12 nur 5, zum anderen ist 7 die wahrscheinlichste Summe. Da jeweils 2 und 12 und 3 und 11 etc. die gleichen Wahrscheinlichkeiten haben, ist also die 7 alleine ausschlaggebend.

\( P\{1-7\}= \frac{21}{36} \approx 0.583 \)

\( P\{8-12\}= \frac{15}{36} \approx   0.416 \)

Wogegen \(\frac{45}{81} \approx  0.556 \quad \) und \(\frac{36}{81} \approx 0.444 \)

Also waere bei einer Wette auf 2-7 als Ergebnis, das so wie hier gezinkte Wuerfelpaar sogar schlechter.

Gruss

---

hallo snoop24,

die von dir angeführten Wahrscheinlichkeiten habe ich auch heraus
bekommen.

---

@ georgborn

Ich hatte für die gezinkten Deine Werte einfach übernommen.

Zeigen wollte ich nur

Diese Angabe entspringt meiner Vermutung das ein gezinktes Würfelpaar 
existiert und gegen einen Mitspieler die Augensumme 2 bis 7 
erfolgversprechender ist.

ergibt sich nicht logisch. Das gezinkt sein ist bekannt und 2 bis 7 ist ohne dieses Zinken noch stärker.

Daher sehe ich es wie Lu. Deine Vermutung ist zwar korrekt aber nicht eine logische Folge der Aufgabe. Eher gegenteilig, denn sie legt nahe, dass das Zinken 2-7 stärker gemacht hat, hat es aber nicht, sondern geschwächt. Für eine derartige Wette sollte ein Falschspieler also ungezinkte Würfel nehmen. Auch ist nirgendwo nach P{2-7} gefragt.

Warum also diese Angabe deinerseits?

---

hallo snoop24,

  nicht dass wir aneinander vorbei reden.

  Ich schaue mir morgens immer Antworten und Kommentare zu meinen
Antworten oder den Fragen generell an und rechne diese nach.

  Mit meinem Kommentar wollte ich dir nur mitteilen dass deine Berechnungen
richtig sind.

  mfg Georg

 

---

Hallo georgborn,

achso danke.

Mich interessiert einfach warum Du die Angaben gemacht hast. Den Gedanken dahinter möchte ich verstehen.

Gruss

---

Ich muß zunächst nachfragen : Welche Angaben ?

- die Auflistung der Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Augensummen
- die Angabe für die Wahrscheinlichkeit Würfe 2-7 und 8-12
- die Bestätigung für deine Wahrscheinlichkeitsberechnungen für einen
   ungezinkten Würfel

  Zutreffendes bitte ankreuzen.

---

Hehe, schöner Humor.

Ähnlich wie Lu geht es mir um:

"Ich nehme an du hast gezinkte Würfel

Wahrscheinlichkeit Augensumme 
2 bis 7 : 45 / 81 
8 bis 12 : 36 / 81"

---

Die Frage die mir durch den Kopf ging war :
Warum stellt jemand Fragen nach
- der Wahrscheinlichkeit für einen gezinkten Wurf
- den Wahrscheinlichkeiten für gezinkte Würfe mit 2 Würfeln

Rein aus mathematischen Gründen oder will er die
Erkenntnisse praktisch zu seinem Vorteil nutzen ?

Ich selbst habe schon einmal ein Computerprogramm zur
Verbesserung der Chancen beim Totospielen geschrieben.

Prof. Walter Krämer Autor u.a. des Buchs " So lügt man mit
Statistik "  bietet auch Wetten an die er jederzeit und von jedem
annimmt  nachdem er zuvor seine Gewinnchancen als
> 50 % ermittelt hat.

Hier noch zur Erheiterung der dumme Spruch des Tages
" Wer allem gegenüber offen ist kann nicht ganz dicht sein ".

---

Wirklich interessante Überlegungen. Danke.

Answer 2

Dadurch werden die Augenzahlen 2, 3, 6 gleichhäufig
geworfen, jedoch doppelt so häufig wie 1, 4, 5.

Würfe

auf 1 mal die 1,4,5
kommen 2 mal die 2,3,6

1 * 1 + 1 * 4 + 1 * 5 + 2 * 2 + 2 * 3 + 2 * 6 = 9 Spielausgänge
davon 1 mal die "1" = 1/9