Bruchterm vereinfachen: (2x^2 - x - 1) / (-x^2 + 3x - 2)

Question

Für Mathe sollen wir den folgenden Bruch vereinfachen:

( 2x² - x - 1 ) / ( -x² + 3x - 2 )

Ich habe es schon irgendwie mit quadratischer Ergänzung probiert, bin aber auf kein Ergebnis gekommen.
Die Seiten zur Vereinfachung von Termen im Internet geben mir immer nur den selben Bruch wieder aus.

Wenn mir jemand helfen könnte wär das echt nett :D

Answer 1

Versuche, den Zähler und den Nenner in Nullstellenform zu schreiben. Dazu musst du ggf. den Koeffizienten des quadratischen Gliedes zunächst herausziehen, den verbleibenden Term faktorisieren und die faktorisierte Form schließlich wieder mit dem herausgezogenen Faktor multiplizieren, also
Beispiel (Nenner):

- x ² + 3 x - 2 = 0

Koeffizienten des quadratischen Gliedes herausziehen:

<=> - 1 * ( x ² - 3 x + 2 )

Den Term in Klammern durch Nullstellenbestimmung faktorisieren:

x ² - 3 x + 2 = 0

<=> x ² - 3 x = - 2

<=> x ² - 3 x + 1,5 ² = - 2 + 1,5 ² = 0,25

<=> ( x - 1,5 ) ² = 0,25

<=> x - 1,5 = +/- 0,5

<=> x = 1 ODER x = 2

Also:

x ² - 3 x - 2 = ( x - 1 ) * ( x - 2 )

und daher:

- x ² + 3 x - 2 = - ( x - 1 ) * ( x - 2 )

Auf dem gleichen Wege findest du für den Zähler:

2 x ² - x - 1 = 2 * ( x + 0,5 ) * ( x - 1 )


Also:

( 2 x ² - x - 1 ) / ( -  x ² + 3 x - 2 )

= 2 * ( x + 0,5 ) * ( x - 1 ) / ( - ( x - 1 ) * ( x - 2 ) )

Zähler und Nenner haben den gemeinsamen Faktor ( x - 1) , also kann man damit kürzen und erhält:

= 2 * ( x + 0,5 ) /  - ( x - 2 )

= - ( 2 x + 1 ) / ( x - 2 )

= ( - 2 x - 1 ) / ( x - 2 )

Answer 2

Man bestimme mal die Nullstellen vom Zähler und Nenner

2x^2 - x - 1 = 0
x = -0.5 ∨ x = 1

-x^2 + 3x - 2 = 0
x = 2 ∨ x = 1

Damit kann ich den Bruch faktorisieren zu 

(2x^2 - x - 1) / (-x^2 + 3x - 2)
2(x + 0.5)(x - 1) / ((x - 2)(x - 1))

Jetzt sehe ich den Faktor (x - 1) im Zähler und Nenner und kann dadurch kürzen.

2(x + 0.5) / (x - 2) = (2x + 1) / (x - 2)

Das ist der vereinfachte Bruch. Man könnte auch noch eine Polynomdivision machen:

(2x + 1) / (x - 2) = 2 + 5/(x - 2)