Verteilungsfunktion, Dichtefunktion, Wahrscheinlichkeit

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen und weiss nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen soll,

Es sei a∈ℝ>0 ein Parameter. Weise nach, dass durch

f(x):= (3/4a³)(a²-x²)                für x mit |x|<=a

f(x):=0                                       sonst

eine stetige Dichtefunktion auf ℝ definiert wird.

Wie lautet die zugehörige Verteilungsfunktion?

Weiterhin gibt es eine Zufallsgröße Z mit Dichtefunktion f mit Parameter a. Die Varianz Var(Z) hat den Wert 20. Welchen Wert muss dann der Parameter a haben?

Answer 1

Hi,

Du musst das Integral $$  \int_{-a}^a \frac{3}{4a^3}(a^2-x^2) dx $$ berechnen. Eine Stammfunktion ist
$$ F(x,a) = \frac{3}{4a}x - \frac{1}{4a^3}x^3  $$ Es gilt $$ F(a,a)-F(-a,a)=\frac{3}{4}-\frac{1}{4} - ( -\frac{3}{4} + \frac{1}{4} ) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 $$

Die Verteilungsfunktion ist definiert als $$ F(x,a)=\int_{-a}^x \frac{3}{4a^3}(a^2-u^2) du $$ Das muss nur ausgerechnet werden.

Die Varianz ist definiert als
$$ \int_{-a}^a x^2 f(x,a) dx - \left( \int_{-a}^a x f(x,a) dx \right)^2 = \frac{a^2}{5}  $$ Das ist für \( a = \pm10 \) gelich \( 20 \)