Maximales Volumen ermitteln für eine nach oben offene Schachtel?

Question

Aus einem rechteckigen Stück Pappe der Länge 16cm und der Breite 10cm werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge x ausgeschnitten und die überstehenden Teile zu einer nach oben offenen Schachtel hochgebogen. Für welchen Wert von x wird das Volumen maximal?

ich denke das x soll die höhe des quaders darstellen aber wie berechne ich das und wie das maximale volumen?

 

wäre froh über eine antwort:)

Answer 1

Ich zeichne mal ein kleines Bild dazu, dann wird das klarer:

Die blauen Flächen werden herausgeschnitten und der Karton an den gestrichelten Linien geknickt.

Die Grundfläche hat also die Maße (16-2x)*(10-2x)

Die Höhe enspricht der Breite der "Seitenlappen", die hochgeklappt werden, ist also x.

Damit lautet die Formel für das Volumen:

V(x) = x*(16-2x)*(10-2x)

V(x) = (16x-2x²)*(10-2x)

V(x) = 10*(16x-2x²) - 2x*(16x-2x²)

V(x) = 160x - 20x² - 32x²+4x³

V(x) = 4x³-52x²+160x

Um das Extremum zu bestimmen, muss V'(x) = 0 gesetzt werden:

V'(x) = 12x²-104x+160

0 = 12x²-104x + 160 | :12

0 = x² - 26/3 x + 40/3

Lösbar z.B. mit der pq-Formel:

x_1/2 = 13/3 ± √(169/9 - 120/9)

x_1/2 = 13/3 ± √(49/9)

x_1/2 = 13/3 ± 7/9

x₁ = 20/3

x₂ = 6/3 = 2

Um festzustellen, an welcher Stelle das Maximum liegt, kann die zweite Ableitung bestimmt werden. Für die Maximalstelle x_max muss V''(x_max)<0 gelten.

V''(x) =24x -104 = 4*(6x-26)

V''(x₁) = 4*(6*20/3-26) = 4*(60-26) = 4*34 > 0 !

V''(x₂) = 4*(6*2-26) = 4*(12-26) = -4*14 < 0 !

Also ist x₂=2 die Maximalstelle.

Der Maximalwert lautet

V(2) = 2*(16-2*2)*(10-2*2)

V(2) = 2*(16-4)*(10-4)

V(2) = 2*12*6 = 12*12 = 144

Answer 2

Einheit cm.

x wird also die Höhe der Schachtel. 

Der Boden misst nun noch (16-2x)*(10-2x). Zeichne das auf, wenn das jetzt zu schwierig ist im Kopf.

Das Volumen V ist Grundfläche mal Höhe und hängt von x ab.

V(x) = (16-2x)*(10-2x)*x

Das ist (ausmultipliziert) ein Polynom 3. Grades. Und der x-Wert des Hochpunktes ist das gesuchte x. Wenn du zum Schluss x in V(x) einsetzt, bekommst du das maximale Volumen. Ableiten und 0-setzen kannst du bestimmt selber. Es ist einfach wichtig, dass du zuerst sorgfältig ausmultiplizierst. 

Gemäss Plot sollte da knapp 150 cm³ rauskommen. Für x wahrscheinlich etwa 5/3 cm.

Comments

Ich komme auf x=2cm und V_max = 144 cm³.

Answer 3

Das Volumen V errechnet sich durch V = a*b*c
a = (16 - x) cm
b= (10 - x) cm
c = x cm
(Durch eine skizze kommst du auf die Formeln)
also:

V = (16 - x ) * (10 -x) * x
V = (160 - 16x -10x +x²) *x
V = 160x - 26x² + x³
 

Nun suchst du Maxima von V(x) also erst ableiten:
V'(x) = 3x² -52 x +160
Null setzen:
0 = 3 x² - 52x +160
x_1/2 = (52 +- Wurzel( 2704 + 1920)) / 6 = (52 +- Wurzel(4624)) / 6 = 52 / 6 +- 68 / 6

und so weiter, der Rest sollte klar sein