komisches Gleichungssystem mit vier unbekannten

Question

ich soll folgendes Gleichungssystem mit vier unbekannten \(a,b,c ,d\)  lösen:

$$1) \, \, \, \, \, a·c+b·d=32400$$$$2.)\ \ a·d-b·c=−6997$$$$3.)\ \ a·c-b·d=28660$$$$4.)\ \ a·d+b·c=16653$$

Ich weiß gar nicht wie man so ein Gleichungssystem nennt.
Linear scheint es nicht zu sein, auch nicht quadratisch.
Ist es etwa ein nicht lineares?

Weis jemand wie man solche Geleichungssysteme nennt und ob sie lösbar sind?
Wenn ja, gibt es einen Lösungsansatz?

Ausser alle möglichen Werte für \(a,b,c ,d\) auszuprobieren fällt mir im moment nichts weiter ein.
Vielleicht steh ich auch nur auf dem Schlauch :(

Answer 1

Das ist ein lineares Gleichungssystem. Die höchste vorkommende Potenz ist 1. Wenn du noch nicht so lange mit LGS (Linearen Gleichungs Systemen) gearbeitet hast, dann empfehle ich dir die "Gauß-Methode". Mit der Gauß-Methode elimierst du die Variablen eine nach der anderen.

Stellen wir zum Beispiel die erste Gleichung nach a um:

$$ a=\frac { 32400-bd }{ c } $$

Diesen Ausdruck für a kannst du dann in Gleichung 2 einsetzen. Diese stellst du dann z.B. nach b um. Anschließend setzt du a und b in Gleichung 3 ein und bekommst c usw. Irgendwann erhältst du einen festen Zahlenwert für eine deiner Variablen. Dann schnurrt das ganze los wie ein Uhrwerk: Du gehst zurück und setzt setzt diesen Wert in die anderen Variablengleichungen ein, bis du einen Zahlenwert für jede Variable hast.

Comments

Vielen Dank für den tollen Lösungsansatz !
Das probier ich jetzt gleich einmal aus :)

Answer 2

Nenne ac = x,  ad = y, bc = u und bd = v . Dann hast du vier Gleichungen mit vier Unbekannten x, y, u und v. Wenn du die Lösungen für x, y, u, und v kennst, setze sie in die eben genannten Gleichungen ein. Dann hast du wieder vier Gleichungen mit vier Unbekannten, die allerdings leichter lösbar sein dürften.