Unterräume, Orthonormalbasis

Question

kann mir einer Helfen diese Aufgabe zu verstehen?

Zu 3. a) Wie kommt man auf diese definitionen?

Zu 3. b) ?

Lösungen:

Danke schonmal

Comments

3.b) könnte man nicht einfach vektor2 - vektor1 rechnen?

Dann wäre (0| 1| 0) ein normierter Vektor und normal dazu (√2 | 0|√2)

eine Basis von V.

Answer 1

bei a) wurde die Lösungsmenge der Gleichung die U beschreibt mit Parametern bestimmt und daraus die Basis abgelesen.

bei b) wurde das Gram-Schmidt-Verfahren angewendet.

Gruß

Answer 2

Die Vektoren in U sind ja durch die Bedingung i*a1 - 2a2 = i*a3 beschrieben

Diese kann man auch schreiben als   i*a1 - 2a2 - i*a3 = 0

Das ist nun eine Gleichung mit den Variablen a1  a2   a3   also kannst du

2 davon frei wählen, in der Lösung haben die das mit a3 und a2 gemacht.

Das dann in die Gleichung eingesetzt und a1 ausgerechnet, Das gab

a1 = -2i*μ + λ.

und wenn du jetzt für a1   a2   und a3 alles einsetzt in

( a1  ;  a2  ;   a3 ) gibt es  (   -2i*μ + λ.    ;   μ     ;    λ )  und dass dann als Linearkombination

geschrieben gibt      μ   * (   -2i    ;   1    ;    0 )  + λ * (  1   ;  0   ;   1   )  .

3b) Das ist Orthonormierungsverfahren von Gram-Schmidt.

Erst mal wird der 1. Basisvektor normiert, das gibt e1.

und dann wird der zweite festgelegt durch

2. Basisvektor - (Skalarprodukt von e1 mit dem 2. Basisvektor) * e1.

Comments

Macht Sinn :D  , aber nochmal kurz zu a) wenn in in a1 die Werte einsetze (ia1=2a2+ia3)

dann komme ich nicht auf -2iµ+λ.   ia1 = 2µ+iλ   wie kriege ich das i da weg? durch i teilen kann ich ja nicht bzw. dann würde ja was ganz anderes rauskommen

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doch, du musst durch i teilen

  ia1 = 2µ+iλ 

  a1 = 2/i *µ+ λ 

und 2/i erweitert man mit i, das gibt  2i / i^2 =  2i/ -1  =  -2i .