Randbedingungen einsetzen?

Question

DG: y''+4y=0

$$ \lambda^2+4=0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=\pm 2i $$

Fundamentallösungen={ sin(2x), cos(2x)}

Allgemeine Lösung bzw. homogener Lösungsteil:  $$ y= C_1\cdot \sin(2x)+C_2\cdot \cos(2x) $$

Randbedingungen: $$ y(0)=0,~~~ y(\frac{3\pi}{4})=1 $$ 

Wie macht man das nun mit den Randbedingungen, wie komme ich zu einer eindeutige Lösung?

Comments

Setze in deine gefundene Lösung y(x) die werte 0 und 3π/4 ein, dann erhältst du ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten., dieses löst du dann nach C₁ und C₂ auf.

Answer 1

Du setzt die beiden AWB in die Lösung ein .

Lösung: y=-sin(2x)

Comments

$$ 0=C_1\cdot\sin 0 + C_2\cdot\cos0= C_2 \\1=C_1\cdot\sin\frac{3\pi}{2}+C_2\cdot\cos\frac{3\pi}{2}=-C_1 \rightarrow C_1=-1 \\y=-\sin 2x $$
Und wie wäre es bei der Randbedingung y(0)=0, y'(0)=-2, also mit einer Randbedingung für die Ableitung?Ist der Ablauf gleich?
C_2=0

$$ y= C_1\cdot \sin(2x)+C_2\cdot \cos(2x) \\y'=2\cdot C_1\cdot \cos(2x)-2\cdot C_2 \cdot \sin(2x) \\y'(0)=-2=2\cdot C_1\cdot \cos(0)-2\cdot C_2\cdot \sin(0)=2\cdot C_1\rightarrow  C_1=-1 \\y=-\sin(2x) \\$$

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Du bildest die 1 Ableitung.

Meistens bekommst Du dann ein Gleichungssystem von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

In diesem Fall ist das aber sehr einfach.

Das Ergebnis ist das Gleiche.