Wie berechne ich Koeffizienten von ( x − 2 )^10? und | 2x - 8 | < 7 - x

Question

Bestimmen sie den Koeffizienten c₇ vor x⁷ in der Gleichung

( x − 2 )¹⁰ = c₁₀ x ¹⁰ + c₉ x ⁹ + c₈ x⁸ + c₇ x ⁷ + c₆ x ⁶ + c₅ x⁵ + c₄ x ⁴ + c₃ x³ + c₂ x ² + c₁ x¹ + 0

Bestimmne side alle x∈ℝ, die die Ungleichung | 2x - 8 | < 7 - x erfüllen.

Answer 1

  Binomischer Lehrsatz; zunächst mal ist der letzte Term nicht Null, sondern 2 ^ 10 . Der gesuchte Term ist




     c7  =  - 8  (  10  3  )

Answer 2

binomischer Lehrsatz:

( x + y )ⁿ = \(\sum\limits_{k=0}^{n}\) \( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) • x^n-k • y^k 

( x + (-2))¹⁰ = \(\sum\limits_{k=0}^{10}\)  \( \begin{pmatrix} 10 \\ k \end{pmatrix}\) • x^10-k • (-2)^k 

der Koeffizient c₉   bei x⁹  [ k = 1]  ist  also (-2)¹ •  \( \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix}\) 

→  c₉ = -2

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 | 2x - 8 | < 7 - x

Hier sind die Fälle  2x - 8 ≥ 0   und  2x - 8 < 0 zu unterscheiden:

1. Fall: x ≥4     (hier kann man die Betragstriche weglassen)

2x - 8 < 7 - x       | + x  | + 8

3x < 15

x < 5

L₁ = [ 4 ; 5 [

2. Fall: x<4     (hier fällt der Betrag weg, wenn man das Argument negativ nimmt)

-2x + 8 < 7 - x  | + 2x | - 7

1 < x

L₂ = ] 1 ; 4 [

L = L₁ ∪ L₂ = ] 1 ; 5 [

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die Antwort

Jedoch habe ich eingie Fragen:

Was bedeutet der Ausdruck

⟨¹⁰⟩
  _^k

?

Und was ist gemeint mit "Hier fällt der Betrag weg, wenn man das Argument negativ nimmt" ?

Denn bis hierher komme ich noch mit,

-2x + 8 < 7 - x  | + 2x | - 7

aber laut meiner Rechnung würde ich hinschreiben:

+8 < - x

Außerdem, bei :

L = L1 ∪ L2
sollte doch eigentlich

L = L₁ ∪ L₂ = ] 4, 5, 1 , 5 [ 

rauskommen, weil es sich bei dem ∪ Zeichen um eine "Vereinigung" handelt, oder?Mfg

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 \( \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \end{pmatrix}\) = bedeutet z.B. 10! / (10-8)! • 8!, aber 10! kennst du wahrscheinlich auch nicht?

|3| = 3 ,  |-3| = -(-3) = 3   bei negativen Termen im Betrag muss man den Term im Betrag negativ nehmen, wenn man die Betragstriche weglassen will.

L = ]1 ; 5 [  sind keine einzelnen Zahlen. Es ist ein Intervall und ist gleich der Menge aller unendlich vielen reellen Zahlen, die zwischen 1 und 5 liegen, es ist also die Vereinigung von ]1 ; 4[ und [4 ;5[

-2x + 8 < 7 - x  | + 2x | - 7 

bedeutet: auf beiden seiten der Ungleichung wird  2x addiert und 7 subtrahiert:

-2x + 8 +2x -7  < 7 - x +2x -7

1 < x

Answer 3

-2x + 8 < 7 - x  | + 2x | - 7
aber laut meiner Rechnung würde ich hinschreiben:
+8 < - x

hier hast du einen Rechenfehler

-2x + 8 < 7 - x  | + 2x | - 7
-2x + 2x + 8 - 7 < 2x + 7 - 7 - x
1 < x

Allgemein zu Betragsfunktionen
Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.
Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Auf der rechten Seite sind die Betragsstriche nun weggefallen.

Comments

Der Koeffizient kann mit dem Pascalschen Dreieck
bestimmt werden. Bitte im Internet  selbst kundig
machen. Im Rahmen dieser Antwort wäre es ein
bißchen viel.

Der Koeffizient c7 = 960