Definitheit von Matrizen über Eigenwerte bzw Hauptminoren

Question

ich befinde mich im Thema der Extremwertberechnung im Mehrdimensionalen.
Als hinreichende Bedingung wird geprüft ob die Hesse Matrix positiv oder negativ definit ist.
Die Folgende Matrix ist meine Hesse Matrix:
$$ \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$
Wenn ich die Eigenvektoren ausrechne bekomme ich $$ \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } $$ und $$ \frac { -\sqrt { 2 } }{ 2 }$$.Die Hauptminoren müssten aber doch beide -1/2 sein oder? 
Det(-1/2)=-1/2 und Det$$\begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$=-1/2 
Über die Eigenwerte bekomme ich also eine indefinite Matrix und über die Hauptminoren eine negativ definite.Wo liegt da mein Denkfehler?

Comments

Wenn du die Eigenvektoren ausrechnest, solltest du Eigenvektoren bekommen. √2/2 ist kein Eigenvektor, weil es kein Vektor ist. Gleiches gilt für -√2/2.

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Oh, das war nur ein Schreibfehler. Ich brauche ja gar keine EV.

Es gibt ja die beiden Methoden über Eigenwerte (Die ich ausgerechnet habe, das Wort Eigenvektoren ist das falsch) und die über die Hauptminoren.
Was mich irritiert, ich dass ich bei den beiden Methoden auf unterschiedliche Ergebnisse komme.

Answer 1

Du hast da versehentlich Eigenvektoren statt Eigenwerte geschrieben.

Schau dir nochmal das Kriterium für negative Definitheit mithilfe von Hauptminoren an: Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn alle ungeraden Hauptminoren negativ und alle geraden Hauptminoren positiv sind.

Das ist bei deiner Matrix nicht der Fall, also nicht negativ definit.

Comments

Ganz ehrlich die Aussage mit den geraden und ungeraden Minoren habe ich noch nie gehört. Das Thema hatte unser Prof auch nur kurz am Rande erwähnt, aber das ergibt dann natürlich viel mehr Sinn.

P.S. aber der Umkehrschluss gilt dann auch oder? Also die Matrix ist positiv definit, wenn alle ungeraden Minoren positiv und alle geraden negativ sind oder?

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Zu deinem PS: Nein, das stimmt nicht. Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.

Schau mal hier: https://homepage.univie.ac.at/reinhard.ullrich/WS2010/Kochrezept_Definitheit.pdf (Theorem 2). Da fehlt allerdings, dass \(H\) symmetrisch sein muss.

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Ok, dann hatten wir in der Vorlesung nur positive Definitheit.. das macht dann Sinn, danke, so kann man sich das merken.