Frage zur (stetigen) differenzierbarkeit

Question

Wenn die Ableitung einer gestückelten Funktion nicht stetig ist, sagt das doch eigentlich nichts darüber aus, ob die Funktion an dieser Stelle differenzierbar ist? Sondern nur, dass die Funktion nicht stetig diff'bar ist.

Für die Differenzierbarkeit müsste ich prüfen, ob ein Grenzwert an dieser Stelle der ursprünglichen Funktion existiert, bzw. ob die Ursprungsfunktion stetig ist.

Ich wäre dankbar für eine kurze Erklärung!

Answer 1

Ich versuche mich einmal.

Ist ein Funktion stetig dann kann sie in einem Zug gezeichnet werden
und weißt ua. keine Sprünge oder nicht definierte Stellen ( Polstellen )
auf.

Differenzierbar  ist eine Funktion wenn sie stetig ist und  es für jeden
Punkt eine 1.Ableitung / Steigung gibt.

Ist diese Ableitung auch stetig dann spricht man von " stetiger Differenzierbarkeit "

Comments

Dies ist eine etwas antiquierte Vorstellung von Stetigkeit.

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Du kannst eine eigene Definition einstellen.

Answer 2

   Genau das ist falsch:


  <<  Für die Differenzierbarkeit müsste ich prüfen,
 << ob ein Grenzwert an dieser Stelle der ursprünglichen Funktion existiert,
  <<   bzw. ob die Ursprungsfunktion stetig ist.


    Rekapitulieren wir. Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind PUNKT WEISE definiert.
   Betrachte eine Funktion y = f ( x ) , die in einer ===> ( offenen ) Umgebung von x0 definiert sei. Was bedeutet Stetigkeit? Für BELIEBIGE x0-Folgen




        lim             f  (  x  )  =  f  (  x0  )      (  1  )
     x ===> x0

    Man sagt auch, das " Diagramm kommutiert " Lass dir das Diagramm von deinem Lehrer aufmalen. Die beiden Operationen " Abbildung f ( x ) " und " Limes " vertauschen. Also ob ich den Grenzwert aller y bestimme oder ob ich direkt f ( x0 ) bilde, ist das Selbe.

   Dagegen Differenzierbarkeit ist die Sache mit der Tangente. Wenn für x ===> x0 alle Kurvensehnen gegen die selbe Tangente gehen - dann nennt man die Funktion differenzierbar.

    Bitte präge dir folgenden Sachverhalt ein: Aus der Differenzierbarkeit folgt immer die Stetigkeit.

    Man kann ja auch mal fragen: Was ist denn der anschauliche Kern des Beweises?

    Jede Gerade ist stetig. Und wenn die Funktion differenzierbar ist, dann können wir sie in einer genügend kleinen Umgebung durch ihre Tangente ann#hern; der Fehler, den wir dabei begehen, geht gegen Null.

     Aber DIE UMKEHRUNG GILT NICHT !!!  Die Funktionen, die hier als Gegenbeispiele genannt werden, bezeichnen selbst die Matematiker als hoch patologisch. Der derzeitige Renner ist die ===> Kochsche Schneeflockenkurve, ein ===> Fraktal.

   Ich vergaß zu erwähnen: Die Kochkurve u.Ä. befriedigen die Forderung, auf der ganzen reellen Achse stetig zu sein und nirgends differenzierbar.

   Nun gilt aber der überraschende Zusammenhang: Jede monotone Funktion ist ===> fast überall differenzierbar.

    Da aber die Kochkurve wie gesagt, auf keinem noch so kleinen Intervall differenzierbar ist, kann sie dort auch unmöglich monoton sein; ihre MAXIMA UND MINIMA LIERGEN ===> DICHT .

   Anschaulich sind diese " Gegenbeispiele vom Dienst " alle " spastisch " ; sie schwärzen das Zeichenblatt mehr oder weniger grau aus.