Frage zur partiellen Differenzierbarkeit von f(x,y) = y*sqrt(2x2+y2).

Question

Hallo liebe User,

ich habe eine Funktion gegeben: f(x,y) = y*sqrt(2x^{2}+y^{2})

So und die Frage lautet: Untersuchen Sie an welchen Stellen die Funktion partiell differenzierbar ist. Als tipp wurde mir gegeben: für (x,y)=(0,0) Ableitungsregel benutzen und für (x,y)!=(0,0)

So... ich habe einmal nach x und einmal nach y abgeleitet. Dann habe ich für die Ableitungen den Grenzwert bestimmt mit der Definition der partiellen Ableitung.

Das Problem ist, das ich einmal lim = 2 raus bekomme und einmal lim = existiert nicht. Was muss ich nun machen? Bzw. was sagt mir der Grenzwert jetzt? Muss ich noch was mit den Grenzwerten machen? Ich weiss echt nicht weiter... : /

Kann es sein das ich die Grenzwerte falsch berechnet habe?

Answer 1

f(x, y) = y·√(2·x² + y²)

fx'(x, y) = 2·x·y/√(2·x² + y²)

fy'(x, y) = 2·(x² + y²)/√(2·x² + y²)

Und jetzt Fragen wir mal an welchen Stellen x ist die Funktion nicht partiell integrierbar.

Unter der Wurzel dürfte nichts negatives stehen. Es gilt aber 2·x² + y² ≥ 0. Damit ist der Wert unter der Wurzel nie negativ.

Unter dem Bruchstrich darf nicht Null stehen. Also darf die Wurzel nicht Null werden. Wann wird 2·x² + y² = 0 ? Der Term wird Null wenn x und y ungleich Null sind.

Du kannst also für alle (x, y) ≠ (0, 0) die partiellen Ableitungen berechnen.